双交叉积上的模范畴

李 涛

（连云港开放大学，江苏 连云港 222006）

摘 要：本文中研究一般的双交叉积及其模范畴， 先介绍匹配的双代数（或Hopf代数）对（X，A）及相应的双交叉积X∞A，对于一对匹配的双代数（X，A），定义了（X，A）-交叉模范畴（X，A）M，证明了双交叉积X∞A上的模范畴X∞AM恰好同构于（X，A）-交叉模范畴（X，A）M。最后，对于任一个具有双射antipode的Hopf代数H，我们给出了从Yetter-Drinfeld H-模范畴HYDH到广义Drinfeld double D（H）上的模范畴D（H）M的一个monoidal函子。

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关键词 ：双代数；双交叉积；模范畴

中图分类号：O15文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）03-0001-02

设（X，A）是一对匹配的双代数（或Hopf代数），X∞A为相应的双交叉积。用X∞AM，XM和AM分别表示左X∞A-模范畴、左X-模范畴和左A-模范畴。显然X→X？茚A，xa x∞1和A→X∞A，a a→1∞a是两个双代数（或Hopf代数）单同态。将上述两个映射视为嵌入映射，则X和A自然地成为X∞A的子双代数（或子Hopf代数）。

引理1.1 设M是一个左X∞A-模，令

x·m=（x∞1）·m，a·m=（1∞？琢）·m，x∈X，a∈A，m∈M。

则M既是左X-模，又是左A-模，且这两个模作用满足

a·（x·m）=∑（a1→x1）·（（a2←x2）·m），x∈X，a∈A，m∈M。

证明 由前面的说明知X→X∞A，xa x∞1和A→X∞A，aa 1∞a是两个代数同态。因此引理中的定义确实使得M成为一个左X-模和左A-模。

对任意的a∈A，x∈X，m∈M有

a·（x·m）=（1∞a）·（（x∞1）·m）

=（（1∞a）（x∞1））·m

=（∑（a1→x1）∞（a2←x2））·m

=[∑（（a1→x1）∞1）（1∞（a2←x2））]·m

=∑（（a1→x1）∞1）·（（1∞（a2←x2））·m）

=∑（a1→x1）·（（a2←x2）·m）

这就完成了引理的证明。

引理1.2 设M是左X-模也是左A-模，若这两个模作用满足

a·（x·m）=∑（a1→x1）·（（a2←x2）·m），x∈X，a∈A，m∈M，

则M是一个左X∞A-模，模作用为

（x∞A）·m=x·（a·m），x∈X，a∈A，m∈M。

证明 对任意的x，y∈X，a，b∈A，m∈M，有

（x∞a）·（（y∞b）·m）=x·（a·（y·（b·m）））

=x·（∑（a1→y1）·（（a2←y2）·（b·m）））

=∑x·（（a1→y1）·（（a2←y2）b·m））

=∑（x（a1→y1）∞（a2←y2）b）·m

=（（x∞a）（y∞b））·m

和（1X∞1A）·m=1X·（1A·m）=m，所以M是一个左X∞A-模。

设（X，A）是一对匹配的双代数（或Hopf代数）。构造范畴（X，A）M如下

·（X，A）M中的对象是左A-模也是左A-模，且两个模作用满足下式

（*） a·（x·m）=∑（a1→x1）·（（a2←x2）·m），a∈X，x∈A，m∈M。

·（X，A）M中的态射为既是X-模同态又是A-模同态的影射。

（X，A）M中的对象称为（X，A）-交叉模，（X，A）M中的态射称为（X，A）-双模同态。

2）显然。

定理1.4 设（X，A）是一对匹配的双代数（或Hopf代数），则X∞AM和（X，A）M是同构的范畴。

证明 设M是一个左X∞A-模，令

x·m=（x∞1）m，a·m=（1∞a）·m，x∈X，a∈A，m∈M，

则由引理4.1知M成为一个（X，A）-交叉模，记作F（M）。于是得一个函子

F：X∞AM→（X，A）M

Ma F（M）

fa F（f）=f

其中f是X∞AM中态射。显然f既是左X-模同态也是左A-模同态，故F的定义合理。

另一方面，设M’是（X，A）-交叉模，命

（x∞a）·m’=x·（a·m’），x∈X，a∈A，m’∈M’。

则由引理1.2知M’成为一个左X∞A-模，记作G（M’）。若f：M’→N’是（X，A）M中的一个态射，则f既是X-模同态又是A-模同态。因此，对任意的x∈X，a∈A，m’∈M’，有

f（（x∞a）·m’）=f（x·（a·m’））

=x·f（a·m’）

=x·（a·f（m’））

=（x∞a）·f（m’），

即f是X∞A-模同态，这样我们得出另一个函子

G：（X，A）M→X∞AM

M’a G（M’）

fa G（f）=f

从F和G的定义可以看出FoG=id，GoF=id。故X∞AM和（X，A）M是同构的范畴。

注1.5 由于X∞A是一个双代数（或Hopf代数），所以X∞AM是一个monoidal范畴（见文献[1，3]）。而由引理1.3知， （X，A）M也是一个monoidal范畴。直接验证可知定理1.4中构造的函子F，G均是monoidal函子，因此X∞AM和（X，A）M是两个同构的monoidal范畴。

YD H-模全体所组成的范畴记作HYDH，其中的态射为既是左H-模同态又是右H-余模同态的线性映射。众所周知，HYDH是一个辨子monoidal范畴，见文献[1，3，10]。

设M是一个YD H-模，则由M的右H-余模结构可知M是一个左（H0）cop-模，模作用为

f·m=∑f（m1）m0，f∈（H0）cop，m∈M。

详细请参阅文献[1]。（（H0）cop，H）是一对匹配的Hopf代数。现在设f∈（H0）cop，h∈H，m∈M，则

所以h·（f·m）=∑（h1→f2）·（（h2←f1）·m），即M是一个（（H0）cop，H-交叉模。再由引理1.2或定理1.4知M是一个左D（H）-模，模作用为（f∞h）·m=f·（h·m），f∈（H0）cop，h∈H，m∈M。

记这样得到的D（H）-模M为F（M）。

若f：M→N是一个YD H-模同态，则易证f是左D（H）-模同态，这样得到如下结论

注1.8 若H是有限维的Hopf代数，则定理1.7中给出的函子F是一个范畴之间的同构，详细见[3，11]。

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