几类图的无符号Laplace矩阵的行列式

邱 玮

（福州外语外贸学院，福建 福州 350202）

摘 要：我们知道n个顶点的图G的无符号Laplace特征多项式为，Cvetkovic等[6]给出了其系数bi的组合解释.我们发现det(Q(G))的值恰好是常数项系数bn.于是可以根据bn的组合解释来讨论图G的无符号Laplace矩阵的行列式.本文主要研究n个顶点的树、连通单圈图与连通双圈图的无符号Laplace矩阵的行列式的计算问题，给出了计算这些图类的无符号Laplace矩阵的行列式的一般方法，对研究图的无符号Laplace矩阵的行列式有着重要的意义.

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关键词 ：无符号Laplace矩阵；行列式；树；连通单圈图；连通双圈图

中图分类号：O151 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2015）04-0004-03

我们知道n个顶点的图G的Laplace特征值按非增排列为：λ1≥…≥λn=0，于是G的Laplace矩阵L(G)=D(G)-A(G)的行列式等于0，这里A(G)和D(G)分别是G的邻接矩阵和度对角矩阵，这是一个一般规律.那么n个顶点的图G的无符号Laplace矩阵Q(G)=D(G)+A(G)的行列式是否有确定的值？

1 图论的基本概念

定义1.1 一个图是由非空点集V=V(G)和V中元素的无序对的一个集合E=E(G)所构成的二元组,记为G=(V(G),E(G)),简记为G=(V,E).边ek可以用它的两个端点vi和vj表示，记为(vi,vj)或vivj.V中的元素称为顶点,E中的元素称为边.我们用n(G)=|V|表示G的顶点数,简记为n.用m(G)=|E|表示G的边数,简记为m.对u,v∈V(G)，若e=uv∈E(G)，则称u和v相邻，同时也称u及v与e相关联.若e1,e2∈E(G)有一个公共顶点，则称e1和e2相邻.

定义1.2 图G=(V,E)中，与顶点v相关联的边数，称为顶点v的度，记为dG(v)，简记为d(v).

定义1.3 图G=(V,E)中，如果两条边有相同的两端点，则称它们为重边或平行边，如果一条边的两端点相同，就称它为环.称不包含环和重边的图为简单图.本文主要讨论简单图.

定义1.4 对于图G和H，如果V(H)?哿V(G)，E(H)?哿E(G)，则称H是G的子图,如果H是G的子图,并且V(H)=V(G),则称H是G的生成子图.

定义1.5 如果图G的一个顶点和边的交替序列v0e1v1e2v2…vm-1emvm使得对1≤i≤m，边ei的两个端点是vi-1和vi，则称该序列为G的一条路径.又如果边e1,e2,…,em互不相同，则称该路径为G的一条迹（或叫链）.顶点互不相同的迹称为G的一条路.路中边的条数称为该路的长度,图G中u,v两点的距离是指以u与v为起止点的u-v路的最短路长，记为dG(u,v).

定义1.6 对于图G的两个顶点u和v，如果G中存在一条路，记为(u,v)路，则称u和v是连通的.如果一个图的每一对顶点都至少有一条路连结，则称该图为连通图.

定义1.7 在图G中顶点的连通关系下，可将V(G)划分成有限个等价类，每个等价类构成G的子图，称为G的一个连通分支.

定义1.8 圈C是指顶点集为V(C)={v1,v2,…,vn}，边集为E(C)={v1v2,…,vn-1vn,vnv1}的图，记为圈Cn，n=|E(C)|为圈的长度.按n是奇数还是偶数，称Cn是奇圈或偶圈.

定义1.9 没有圈的连通图称为树，记为T，每个连通分支皆为树的图称为森林.如果T为树，则n(T)=m(T)+1，这里n(T)与m(T)分别为T的顶点数与边数.

定义1.10 由树添加一条边所得到的连通图称为单圈图,记为U.显然，n(U)=m(U).

定义1.11 由树添加两条边所得到的连通图称为双圈图,记为W.显然，n(W)=m(W)-1.

定义1.12 设图G的顶点集为V(G)={v1,v2,…,vn}，用aij表示G中vi和vj之间的边数.称A(G)=(aij)n×n为G的邻接矩阵.若点vi的度为d(vi)(i=1,2,3…n)，则G的度对角矩阵定义为diag(d(v1),d(v2),…d(vn))，简记为D(G)，无符号Laplace矩阵Q(G)定义为：Q(G)=D(G)+A(G).

2 已有的结果

定义2.1[4,6] 图G的一个生成子图称为G的TU-子图H，如果它的每个分支是树或者是非偶单圈图.

利用图G的TU-子图，Cvetkovic等[6]给出了图的无符号Laplace特征多项式的系数的一个组合解释如下：

3 本文的结果

首先我们给出n个顶点的树的无符号Laplace矩阵的行列式的值.

定理3.1 设T是n个顶点的树，T的无符号Laplace矩阵为Q(T)=D(T)+A(T)，则：

det(Q(T)=0.

证明 T的无符号Laplace特征多项式为：

下面我们考虑单圈图的无符号Laplace矩阵的行列式的计算问题.

定理3.2 设G是n个顶点的连通单圈图，其中圈的长度为g，G的无符号Laplace矩阵为Q(G)=D(G)+A(G)，则：

证明 G的无符号Laplace特征多项式为：

令λ=0，我们得到det(Q(G))=bn.根据定理2.2，，这里求和取遍G的所有n条边的TU-子图H.又因为G是n个顶点的连通单圈图，m(G)=n(G)，所以当g为奇数时，bn=4；当g为偶数时，bn=0.综上所述：

下面我们再考虑双圈图的无符号Laplace矩阵的行列式的计算问题，我们得到如下三个定理.

定理3.3 设G是n个顶点的连通双圈图，其中两个圈为C1与C2，它们的长度分别为g1与g2，且C1与C2相交于一个顶点，G的无符号Laplace矩阵为Q(G)=D(G)+A(G)，则：

定理3.4 设G是n个顶点的连通双圈图，其中两个圈为C1与C2，它们的长度分别为g1与g2，且C1与C2不相交，C1与C2之间距离为g3，G的无符号Laplace矩阵为Q(G)=D(G)+A(G)则：

定理3.5 设G是n个顶点的连通双圈图，其中两个圈为C1与C2，它们的长度分别为g1与g2，若C1与C2有公共边，且公共边的数目为g4，G的无符号Laplace矩阵为Q(G)=D(G)+A(G)则：

3.1 C1与C2相交于一个顶点，如图1.

（1）当g1,g2都为偶数时，去掉任何一条边都不能形成n条边的TU-子图.根据定理2.2，det(Q(G))=bn=0.

（2）当g1为奇数，g2为偶数时，去掉C2以外的任何一条边都不能形成n条边的TU-子图；去掉C2上的任何一条边都形成G的一个n条边的TU-子图H，此时?椎(H)=4.根据定理2.2，det(Q(G))=bn=

（3）当g1为偶数，g2为奇数时，同（2）的情况一样可得：det(Q(G))=4g1.

（4）当g1,g2都为奇数时，去掉C1,C2以外的任何一条边都不能形成n条边的TU-子图；去掉C1,C2上的任何一条边都会形成G的一个n条边的TU-子图H，此时?椎(H)=4.又因为C1,C2的长度分别为g1,g2，根据定理2.2，

3.2 C1,C2不相交，且C1,C2之间的距离为g3，如图2所示.

（1）当g1,g2都为偶数时，去掉任何一条边都不能形成n条边的TU-子图.根据定理2.2，det(Q(G))=bn=0.

（2）当g1为奇数，g2为偶数时，去掉C2以外的任何一条边都不能形成n条边的TU-子图；而去掉C2上的任何一条边都形成G的一个n条边的TU-子图H，此时?椎(H)=4.根据定理2.2，

（3）当g1为偶数，g2为奇数时，同（2）情况一样可得：det(Q(G))=(-1)n4g1.

（4）当g1,g2都为奇数时，去掉C1,C2和C1,C2之间相连的边以外的任何一条边都不能形成n条边的TU-子图；去掉C1,C2上的任何一条边都会形成G的一个n条边的TU-子图H，此时?椎(H)=4；去掉C1,C2之间相连的任何一条边也都会形成G的一个n条边的TU-子图H，此时?椎(H)=4×4=16.根据定理2.2，

3.3 C1,C2有公共边，且公共边的数目为g4，如图3.

（1）当g1,g2都为偶数时，去掉任何一条边都不能形成n条边的TU-子图.根据定理2.2，det(Q(G))=bn=0.

（2）当g1为奇数，g2为偶数时，去掉C2以外的任何一条边都不能形成n条边的TU-子图；去掉C2上除去公共边的任何一条边都会形成G的一个n条边的TU-子图；去掉C1,C2的任何一条公共边都会得到一个圈长为g1+g2-2g4的单圈图，由于g1为奇数，g2为偶数，g1+g2-2g4≡1(mod2)，这个单圈图也是TU-子图，所以去掉C2上的任何一条边都形成G的一个n条边的TU-子图H，此时?椎(H)=4.根据定理2.2，

（3）当g1为偶数，g2为奇数时，同（2）的情况一样可得：det(Q(G))=4g1.

（4）当g1,g2都为奇数时，去掉C1,C1以外的任何一条边都不能形成n条边的TU-子图；去掉C1,C2上除公共边外的任何一条边，都会形成G的一个n条边的TU-子图H，此时?椎(H)=4；去掉C1,C2的任何一条公共边都会得到一个圈长为g1+g2-2g4的单圈图，由于g1,g2都为奇数，g1+g2-2g4≡0(mod2)，这个单圈图不是TU-子图，所以去掉C1,C2的任何一条公共边都不会形成n条边的TU.根据定理2.2，

综上所述，定理3.3、定理3.4与定理3.5得证.

本文主要研究n个顶点的树、连通单圈图与连通双圈图的无符号Laplace矩阵的行列式的计算问题，给出了计算这三类图的无符号Laplace矩阵的行列式的一般方法，对研究图的无符号Laplace矩阵的行列式有着重要的意义.

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参考文献：

〔1〕王树禾.图论[M].北京：科学出版社，2004.

〔2〕孙惠泉.图论及其应用[M]．北京：科学出版社，2004.

〔3〕刘缵武.应用图论[M]．湖南：国防科技大学出版社，2006.

〔4〕邱玮.图的Laplace特征多项式系数的若干结果[D]．集美大学，2012.

〔5〕林伟奇.树的Laplace特征多项式的系数序[D].集美大学，2011.

〔6〕Cvetkovic,Rowlinson,Simic.Signless Laplacians of finite graphs[J].Linear Algebra and Applications，2007(423)：155-171.