平面束一般方程及其应用的教学研究

杜 云

（六盘水师范学院 数学系，贵州 六盘水 553004）

摘 要：作者在教学实践中讨论了平行、有轴平面束的一般方程, 给出它的一般形式及其简化形式；通过实例探究了平面束方程在空间中的点、平面方程、直线方程及其他们之间相关位置的一些简单应用.并强调运用平面束方程简化形式解题容易出现的问题.

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关键词 ：平面束方程；应用；教学研究

中图分类号：O182.2 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2015）04-0007-03

在授课实践过程中,我体会到解析几何中的前三章主要应用空间向量这一应用工具刻画了空间中的点、线、面以及它们之间的相互位置关系.向量将解析几何中这些元素代数化,为学生提供了一种有效的学习方法.我们通过空间向量来处理空间直线与平面、平面与平面的相关位置,采用平面束方程这一作法来解决两个平面的交线在第三个平面上的投影直线,使复杂问题简单化,并给出了清晰的几何背景.通过对此类问题的探究，总结出平面束方程在解题中的具体方法，以达到在今后的教学中更好地将这一方法呈现给同学们.

1 平面束定义及其一般方程

定义 在空间中，通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束，该直线叫做有轴平面束的轴；在空间中，平行于同一个平面的所有平面的集合叫做平行平面束，有轴平面束与平行平面束统称为平面束[1].

定理1 如果两个平面

π1：A1x+B1y+C1z+D1=0，

π2：A2x+B2y+C2z+D2=0

交于一条直线L，那么以直线L为轴的有轴平面束方程是

l(A1x+B1y+C1z+D1)+m(A2x+B2y+C2z+D2)=0 （1）

其中l，m是不全为零的一切实数.

实际上我们稍微作变形就可以将方程化为只含有一个参数的形式.

推论1 过平面π1与π2交线L的有轴平面束可简记为[2]：

A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0(﹡)

其中λ为一切实数，值得强调的是平面A2x+ B2y+C2z+D2=0并不包含在平面束方程(﹡)式中，采用(﹡)式时一定要单独考虑平面A2x+B2y+C2z+D2=0.

定理2 如果两个平面

π1：A1x+B1y+C1z+D1=0，

π2：A2x+B2y+C2z+D2=0

为平行平面，即A1:A2=B1:B2=C1:C2，那么方程：

l(A1x+B1y+C1z+D1)+m(A2x+B2y+C2z+D2)=0 （2）

表示平行平面束，该平面束中的任意一个平面π都和平面π1或π2平行，其中l，m是不同时为零的任意实数，并且满足

-m:l≠A1:A2=B1:B2=C1:C2

推论2 由平行于平面π：Ax+By+Cz+D=0的平行平面束的方程可简化为：

Ax+By+Cz+λ=0（﹡﹡）

其中λ是一切实数.以上定理、推论证明从略.

2 平面束一般方程的实例应用

2.1 过已知直线与已知平面垂直的平面方程

例1 求通过直线且与平面垂直的平面方程.

分析 为了不遗漏答案，一般情况下应用两个参数的形式：

l(A1x+B1y+C1z+D1)+m(A2x+B2y+C2z+D2)=0来解题.在用到平面束方程时，为了方便而采用简化形式（﹡）式时，要注意平面：A2x+B2y+C2z+D2=0并没有包括在（﹡）式内，所以最后必须单独检验此平面是否为所求平面.

解 设所求平面方程为

l(3x+2y-z+1)+m(2x+3y-2z+2)=0，即

(3l+2m)x+(2l+3m)y+(-l-2m)z+(l+2m)=0，

由两平面垂直的条件得(3l+2m)+(2l+3m)+(-2l-m)=0，即4l+3m=0，因此l：m=3：(-4)，所求平面方程为x-6x+5z=0.

2.2 过已知直线与已知直线成角的平面方程

分析 空间直线在平面上的投影的相关问题，常规思维是先求出直线l与平面π的交点M的坐标，在直线l上任意取一固定点P（一般而言为方便计算取其中某一坐标为0），写出过点P的直线l的对称式方程，然后求出平面π的一条垂线l2，找到直线l2与平面π的交点N的坐标，由M，N利用直线的两点式方程即可写出直线l在平面π上的投影直线l0，这样解虽然思路清晰，但计算比较繁琐.

如果我们采用平面束方程就可将计算过程简化，我们先设出过直线l的平面束方程(﹡)式，(﹡)式中必然存在一平面π1与平面π垂直，从而π与π1的交线就是直线l在平面π上的投影直线l0.

2.4 平面束方程在空间距离问题中的应用

2.4.1 求点到直线的距离

例4 求点P(2,4,1)到直线l：的距离.

分析 常见的解法空间中点到直线的距离问题最有三种：一是直接代公式；二是在l上任取两点M、N，根据两个向量向量积的几何意义得d=；三是过点P作垂直于直线l的平面π，其中l的方向向量平行于平面的法向量，由点法式易于求出平面π的方程，然后直线方程和平面方程联立方程组求出交点O，最后利用两点间的距离公式求出P到直线l的距离PO.

当然这里一样可以用平面束的方法求解，点到直线距离就转化为点P到过直线l的平面束中距离最大的那个平面的距离.

解 将直线l化为一般式为

从而过直线的平面束可表示为(x-y+1)+λ(3y+2z-4)=0，即x+(3λ+1)y+2λz+(1-4λ)=0，从而由点P到直线l的距离公式有，d(λ)是关于λ的函数，这是一个初等函数求最值得问题.显而易见当λ=1时，d(λ)max=3.

2.4.2 求两异面直线之间的距离

例5 求直线l1：x=3z-1y=2z-3与直线l2：y=2x-5z=7x+2之间的垂直距离.

分析 空间两条异面直线之间距离的问题，常规思维是将两条直线分别化为含t,s的参数方程：

由此可见它是一个含t,s的二元函数，利用函数求极值的方法可d的最小值，但是计算繁琐.

分析 一般而言，求直线方法是想办法找出平面的一个法向量，而这类问题的切点不容易求出，很难找到平面的法向量，于是我们如果试用平面束方法，其实就是找过直线的平面束中与球心O(0,0,0)的距离等于球半径1的平面，从而绕开了法向量求解，使问题简化.

解 过所给直线除平面2x-y+z=0外的其他所有平面方程为：

x+y-2z+3+λ(2x-y+z)=0，即(1+2λ)x+(1-λ)y+(λ-2)z+3=0.

根据平面与球相切，球心O到平面的距离d应等于半径r，于是由点到平面的距离公式得：

分析 由于此问题在过直线l的平面π上，我们可以尝试着用过直线l的平面束方程来解决.

解 过直线l的平面束方程为(x+y+b)+λ(x+ay-z-3)=0，即

(1+λ)x+(1+aλ)y-λz+(b-3λ)=0

3 结束语

综上所述,在直线与平面关系的教学中,用平面束方程来处理一些习题是一种快捷有效的做法，对于一些传统方法很难处理的平面或直线问题时，使用平面束方法确实能使很多复杂的问题变得简单，使之更容易求解，但更重要的在于解题之初应分析清楚题目中平面或直线的相互位置关系，才可应用好平面束方程.

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参考文献：

〔1〕吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社,2006.5.

〔2〕董增福，白素英.平面束方程简化形式的教学研究[J].2004（6）.