Cauchy- Schwarz不等式的证明及应用
2022-06-09
孙 瑞
（枣庄学院，山东 枣庄 277100）
摘 要：本文归纳总结了Cauchy-Schwarz不等式的几种证明方法.并在此基础上对Cauchy-Schwarz不等式在数学几个分支上的应用进行了研究，通过研究总结可以发现Cauchy-Schwarz不等式在解决问题时可以使某些问题得到简化.
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关键词 ：Cauchy-Schwarz不等式；条件极值；重要极限；样本线性相关系数
中图分类号：O178文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）04-0001-02
1 引言
柯西是法国数学家，1789年8月21日出生于巴黎， 他对数论、代数、数学分析和微分方程等多个领域进行了深入的研究，并获得了许多重要成果，著名的Cauchy-Schwarz不等式就是其中之一.Cauchy-Schwarz不等式是《高等代数》中一个重要而用途广泛的不等式，有多种表现形式，并且其应用的灵活性体现在很多方面，同时在很多问题的研究过程中应用柯西不等式会简化解题过程.鉴于Cauchy-Schwarz不等式的广泛用途，本文将主要归纳总结Cauchy-Schwarz不等式的几种证明方法及其在数学各分支中的灵活应用.
2 Cauchy-Schwarz不等式
3 Cauchy-Schwarz不等式的应用
这里主要介绍了Cauchy-Schwarz不等式在求极值和解释样本相关系数这两方面的应用.
3.1.1 两类多元函数条件极值的求法
命题1[7] 若n个大于0的变数x1，x2，…，xn满足线性方程a1x1+a2x2+…+anxn=s，a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn，s均为正常数，则函数f（x1，x2，…，xn）=b1x12+b2x22+…+bnxn2取得极小值s2
上面我们阐述了Cauchy-Schwarz不等式的证明和它在数学不同分支领域中的应用，了解了Cauchy-Schwarz不等式证明的多种方法，其不仅仅局限在一般代数中，还可以用线性代数的方法进行证明.在应用Cauchy-Schwarz不等式解决问题时要认清Cauchy-Schwarz不等式的模式，并能够将实际问题与Cauchy-Schwarz不等式的模式相对照，建立起相应模型，问题即可得以解决，而且能够显示出其简捷、明快、甚至一步到位的解题效果.
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参考文献：
（1）徐丽君.柯西不等式的证明及推广应用[J].科技信息，2008（11）：236－237.
（2）俱鹏岳.柯西不等式的三种证明[J].陇东学院报，2005（15）：1－2.
（3）杨子胥.高等数学习题解[M].济南：山东科学技术出版社，1982.
（4）汤茂林.柯西不等式的几种新证法[J].职大学报，2008（04）：66-67.
（5）赵成海.用数学期望证明柯西不等式[J].数理天地，2007（10）：21.
（6）算术-几何平算术平均值与几何平均值之间关系的柯西不等式的证明[J].巢湖学院报，2008（10）：129-130.
（7）汪元伦，刘长河.两类多元函数条件极值的简捷求法[J].绵阳师范学院报，2008（27）：14－15.
（8）竺欢乐.用柯西不等式解释样本线性相关系数[J].数学通讯，2004（07）.