一类微分方程的解及其解的导数与不动点的关系

孟琳琳

（郑州工业应用技术学院，河南 郑州 451150）

摘 要：微分方程的研究对于数学、物理等各方面的研究都具有重要意义.微分方程的应用在我们日常生活中常常会存在，其应用范围具有相关的广泛性.通过对微分方程的研究可以使我们更好的了解生活中的动态变量问题，从而使我们能够实现动态角度的分析，将生活研究更加真实化准确化.一类微分方程是微分方程中形式较为简单的方程结构，对一类微分方程的解及解的导数进行研究，对我们学习微分方程具有重要作用.本文通过对一类微分方程的求解和一类微分方程解的导数的角度，探讨一类微分方程的解及其解的导数与不动点的关系，从而帮助我们更好地进行微分方程的学习.

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关键词 ：一类微分方程；方程解；解的导数；不动点

中图分类号：O175.8 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2015）05-0001-03

微分方程作为数学学科的分支，在现实生活中的应用十分广泛.微分方程知识在物理学中的许多变量问题的求解中均有涉及，在化学中的动态变化中也有运用.此外，微分方程还广泛地应用于工程学、经济学等诸多方面.一类微分方程是形式相对简单的微分方程，通过对一类微分方程进行研究，可以更好地帮助我们进行多元微分方程的研究，强化我们的数学基础.同时也有助于相应物理学、化学、工程学等学科问题的研究和解决.因此，对一类微分方程的相关特性进行研究具有重要意义，是实现各领域研究的基础.

1 微分方程的相关基本定义

微分方程指的是由未知函数的导数与自变量之间形成的方程等式.微分方程的解是使微分方程等式两边成立的函数.微分方程具有十分广泛的应用，在物理学中许多涉及到动态的变化量的研究常用到微分方程.包括涉及到变力的动力学和运动学等，例如受到空气阻力的落体运动都可以利用微分方程进行求解.

当未知函数是一元函数时，未知函数导数与自变量之间的关系等式即为一类微分方程，也称常微分方程.当未知函数为多元函数时，未知函数导数与自变量之间的关系等式称为偏微分方程.微分方程的数学模型如图1.

2 一类微分方程的解与不动点

假设某一类微分方程形式为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，且M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左边部分即M(x,y)dx+N(x,y)dy为某个二元函数T(x,y)的全微分，则可以得到dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy.其中M(x,y)dx+N(x,y)dy=0为全微分方程，二元函数T(x,y)为该全微分方程的原函数.

如果T(x,y)是dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy的一个原函数，则对全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0进行通积分，可得到全微分的通积分T(x,y)=A，其中A为任意的常数[1].

如果Ｆ（x）≠T（x）Ｐｋ（x）＋１，其中Ｐｋ（x）是任意次数为ｋ的多项式,则对于方程非零亚纯解ｆ（x）的ｋ－１阶导数ｆ（ｋ-１）（x）有无穷多个不动点，且τ（ｆ（ｋ－１））＝σ（ｆ）＝＋∞和τ２（ｆ（ｋ－１））＝σ２（ｆ）＝σ至多有一个例外解ｆ（x）.

通过对微分方程进行方程假设和穷级转换，在非零亚纯函数的变化下，通过极点等数据方程转化，构建微分方程的等式典型乘积或通过多项式建立，对方程等式进行数学归纳.在对数测度为有限的集合条件中，通过范围假设，引理带入运算，建立相应的解集表达式.通过微分方程的解集表达式，进行方程式的解集求导，获取一类微分方程的解的一阶导数.对解集等式和解集一阶导数式进行变形，并代入上述引理等式中，通过变形转化和数据假设推断，从而得到不动点的关系等式.

5 结束语

综上所述，通过对一类微分方程进行求解和解的导数与不动点之间的关系研究，指出受微分方程的制约影响，一类微分方程的不动点密度与解和解的导数情况有着密切的关系.对一类微分方程的解进行分析以及解的导数情况进行分析，从而分析一类微分方程解与解的导数与微分方程不动点之间的关系，从而更好地帮助我们进行微分方程的学习以及高阶层微分方程的研究，从而将微分方程的数学知识应用到更多的领域，帮助各领域研究人员进行动态量的研究，从而提高各领域的应用水平的发展以及社会技术的发展和提高.目前，我们对于一类微分方程的解与解的导数和微分方程不动点之间的关系研究还不深入，因此希望后期更多研究者对微分方程进行更加深入的探讨和研究.

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参考文献：

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