关注位置关系 留意轨迹方程——通过近几年高考案例谈直线与圆的方程的学习

林洁

（山东体育学院体育运动学校，山东 济南 250012）

【摘要】直线方程是解析几何的基础知识之一，是高考重点考查的内容。通过直线与圆的位置关系的例题讲解，拓展学生解这类题型的思路，掌握这类题型的解题方法.

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关键词 直线与圆；圆的轨迹；轨迹方程

直线方程是解析几何的基础知识之一，是高考重点考查的内容，主要考查直线的倾斜角、斜率、直线方程、两条直线的位置关系、点到直线的距离以及对称问题；圆是高考的热点，也是重点考查的内容，主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的几何性质。直线与圆一般在试题中的难度为中等或偏易，主要以选择题、填空题形式出现，偶尔也会出现在解答题，多与圆锥、曲线综合在一起考查。从近几年的高考来看，主要以以下几种形式考查直线与圆的方程：

【问题1】：关于直线对称的问题

【例1】（高考，浙江理3）直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）

A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0

【答案】：D

【解析】：解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于x＝1对称点为(2-x,y)，它在直线x－2y＋1＝0上,∴2-x－2y＋1＝0化简得x＋2y－3＝0，故选D.

解法二：根据直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线x＝1，选答案D.

【例2】（高考，上海文13）圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线2x－y＋3＝0对称的圆的方程是（）

A.（x＋3）2＋（y－2）2＝1/2 B.（x－3）2＋（y＋2）2＝1/2

C.（x＋3）2＋（y－2）2＝2 D. （x－3）2＋（y＋2）2＝2

【答案】C

【解析】圆x2＋y2－2x－1→（x－1）2＋y2＝2，圆心（1，0），半径√2，关于直线2x－y＋3＝0对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线2x－y＋3＝0上，C中圆（x＋3）2＋（y－2）2＝2的圆心为（－3，2），验证适合，故选C.

【评述】直线关于点的对称直线，直线关于直线的对称直线等，其实质是点关于直线的对称问题，转化为垂直与平分来处理.在例1中解法1是运用一般的点，然后用代入法求解，也可以运用特殊点法来求解，即在已知直线上找一个或两个特殊点，求出这两个特殊点的对称点，利用两点式写出直线方程；解法2侧重数形结合，这是解选择、填空天常用的方法.

例2中圆的对称问题，实质上转化为圆心关于直线的对称问题来处理，这体现了转化的思想.

【问题2】判断两直线的位置关系

【例3】（高考，上海理2）已知ｌ1：2x＋ｍy＋1＝0与ｌ2：y＝3x－1，若两直线平行，则ｍ的值为_____.

【答案】－2/3.

【解析】2/3＝m/-1≠1/-1→ｍ＝－2/3.

【评述】：当两条直线ｌ1、ｌ2的方程分别为y＝k1x＋B1和y＝k2x＋B2（即它们的斜率都存在时），可由k1，k2之间的具体值来判断它们的位置关系；当ｌ1、ｌ2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0时，可由ｌ1⊥ｌ2<=>A1A2＋B1B2＝0来判断它们是否垂直.

【问题3】圆的方程的求法

根据已知条件先确定采用标准方程还是一般方程，然后求出相应的参数，即采用待定系数法.

【例4】（高考，湖南文理11）圆心为（1，1）且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是_____.

【答案】 （x－1）2＋（y－1）2＝2.

【解析】半径R=，所以圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.

【评述】：求圆的方程时，如果涉及圆心、半径或切线时，一般设圆的方程的标准式；如果涉及圆过几个点，一般设圆的方程的一般式.

【问题4】直线与圆、圆与圆的位置关系

利用它们的方程联立的方程组的解的情况（称为代数法）或利用圆心到直线的距离、圆心与圆心的距离与半径的大小关系（称之为几何法）来求解.

【例5】（江西理16）设有一组圆Ck：（x－k＋1）2＋（y－3k）2＝2k4（k∈N*）.下列四个命题：

A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交

C.存在一条定直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点

其中真命题的代号是______.（写出所有真命题的代号）

【答案】B、D

【解析】：圆心为（k-1，3k）半径为√2k2，圆心在直线y=3（x+1）上，所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交，B正确；由C1、C2、C3的图像可知A、C不正确；若存在圆过原点（0，0），则有（－k＋1）2＋9k2＝2k4=>10k2－2k＋1＝2k4（k∈N*）因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点.

【例6】（高考，山东理15）与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是_____.

【答案】：（x－2）2＋（y－2）2＝2

【解析】：曲线化为（x－6）2＋（y－6）2＝18，

其圆心到直线x＋y－2＝0的距离为.

所求的最小圆的圆心在直线y＝x上，其到直线的距离为√2，圆心坐标为（2，2）.标准方程为（x－2）2＋（y－2）2＝2.

【评述】涉及直线与圆的位置关系，一般用几何法求解；涉及圆与圆的位置关系时，一般用代数法求解.

【问题5】与圆有关的轨迹方程问题

【例7】（高考，四川文理15）已知圆O的方程是x2＋y2－2＝0，圆O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向圆O和圆O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_____.

【答案】: x＝3/2.

【解析】圆心O（0，0），半径r＝√2；圆心O′（4，0），半径r′＝√6.设P（x，y），由切线长相等得x2＋y2－2＝x2＋y2－8x＋10，x＝3/2.

【评述】圆的切线是高考的热点，把圆的切线与轨迹结合在一起，一般用数形结合的思想与方法来解决，这样既直观又便捷.

【问题6】与圆有关的新题赏析

【例8】（高考，浙江理4文5）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】B

【解析】：因为龙头的喷洒面积为36π≈113，正方形面积为256,故至少三个龙头.由于2r＜16，故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水.当用四个龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，由于2r＝12＞8√2，故可以保证整个草坪能喷洒到水.

【例9】（高考，上海文11）如图，A，B是直线ｌ上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与ｌ相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是_____.

【答案】（0，2-π/2]

【解析】如图，当圆O1与圆O2外切于点C时，S最大，此时，两圆半径为1，S等于矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，∴Smax＝2×1－2×（1/4×π×12）＝2-π/2，随着圆半径的变化，C可以向直线ｌ靠近，当C到直线ｌ的距离D→0时，S→0，∴S∈（0，2-π/2].

【评述】这两道新题实质上是圆的应用，利用所学过的知识解决实际问题是新课标、新考纲的要求，因此在以后的考题中一定会有不少的新题型面市。希望通过这些例题的分析，使学生更好的掌握直线与圆的位置关系的相关题型的解题方法与技巧。

［责任编辑：杨玉洁］