模糊数值函数的有界变差绝对连续及积分表示

侠红叶尔李萍王丹刘丹

（西北民族大学，甘肃 兰州 730030）

【摘要】在新的模糊数的绝对值意义下，定义和讨论了模糊数值函数的有界变差、绝对连续性质。利用模糊数值函数Henstock积分，给出了模糊数值函数全变差的积分表示。

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关键词 模糊数；模糊数值函数；有界变差；绝对连续

Bounded Variation, Absolute Continuity and Representation for Fuzzy-number-valude Functions

(Northwest University for Nationalities, Lanzhou Gansu 730030, China)

【Abstract】The absolute continuity and bounded variation of the fuzzy-number-valued functions and the representation of the fuzzy Henstock integrable for the fuzzy-number-valued function by using the new definition of absolute values of fuzzy number. It is proved that the fuzzy absolutely continuous functions are bounded variation almost everywhere, and the integration of its H-derivative equals to the total variation of the primitive.

【Key words】Fuzzy number; Fuzzy-number-valued function; Bounded variation; Absolute continuity

0引言

自1965年美国控制论专家L.A.Zadeh提出模糊集概念以来，模糊数学作为新兴的数学分支得到了迅猛的发展，其中模糊分析学一支的研究已相深入[1-2]。

众所周知，自1975年A.Kanfmann提出模糊数的概念以来，在通常模糊数的运算、绝对值、序关系的意义下，人们已经做了大量的工作。就模糊数值函数而言，巩增泰等在文献[3]中已经提出了模糊绝对连续、模糊有界变差的概念，而且给出了模糊绝对连续函数的Kaleva积分表示，利用模糊数的绝对值定义了模糊有界变差函数，给出了模糊有界变差函数的刻划定理，讨论了模糊有界变差函数的可导性而后，冯玉湖在文献[4]中进行了深入研究.尽管可以证明Kaleva可积函数的积分原函数是绝对连续的，但是积分原函数并不是几乎处处可导的，也没有得到有界变差函数全变差的积分表示。文献[5]中，巩增泰等定义和讨论了模糊数值函数的距离导数，给出了模糊有界变差函数全变差的积分表示。发现模糊绝对连续函数是几乎处处距离可导的，距离导数的积分等于其原函数的总变差，从而给出了模糊有界变差函数全变差的积分表示。本文所做的工作是在文献[3]提出的新的模糊数的绝对值和序关系意义下进行的。这种新的运算性质是在不考虑纵向对称模糊性现象,即认为所有关于纵向对称的模糊数都是等同前提下提出的,新的绝对值与序关系的提出使得模糊数与实数有了更相似的运算性质,对模糊值函数问题研究提供了更多方便。本文把经典分析的方法与模糊分析相结合，利用新的模糊数的绝对值和序关系的定义，讨论了模糊数值函数的有界变差、绝对连续性质，并得到了模糊数值函数的Henstock积分表示，所得的结果为模糊值函数的进一步研究提供了新的研究方法以及做了一些基础性的工作。

1预备知识

2模糊数值函数的有界变差及绝对连续性

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参考文献

［１］吴从炘,马明.模糊分析学基础[M].北京:国防工业出版社,1991.

［２］吴从炘,马明,方锦喧.模糊分析学的结构理论[M].贵阳:贵州科技出版社,1994.

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［4］巩增泰.模糊有界变差及其可导性[J].兰州大学学报,2003,39:17-21.

［5］巩增泰,白玉娟.模糊有界变差函数全变差的积分表示与距离导数[J].数学学报,2011,4(54):633-642.

［6］Feng Y. H.. A note on indefinite integrals and absolute continuity for fuzzy-valued mappings[J]. Fuzzy Sets and Systems,2004,145:405-415.

［7］M. L.Puri，D. A.Ralescu. Fuzzy Random Varariables[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1983,91:552-558.

［8］R.Goetschel.Jr，W.Voxman. Elementary Fuzzy Calculus[J].Fuzzy Sets and Systems,1986,18:31-43.

［9］O.Kaleva. The Cauchy Problem for fuzzy Differential[J].Fuzzy Sets and Systems,1990,35:389-396.

［１0］Wu Congxin，Gong Zengtai. On Henstock Integrals of Interval-valued Functions and Fuzzy-valued Functions[J].Fuzzy Sets and Systems,2000,115:377-391.

［１1］Gong Zengtai，Wu Congxin. On The Problem of Characterizing Derivatives for The Fuzzy valued Functions[J].Fuzzy Sets and Systems,2002,127:315-322.

［１2］Robert.J.Aumann. Integrals of Set-Valued Functions[J].Jounal of Mathematical Analysis and Applications,1965,12:1-12.

［责任编辑：汤静］