浅谈导数在实际生活中的应用

刘朝霞

（集宁师范学院数学系，内蒙古 乌兰察布 012000）

【摘　要】导数是微分学的重要组成部分，是研究函数性质、曲线性态的重要工具[1]，也是解决实际生活中某些优化问题的重要方法。探讨了运用导数求解实际生活中有关用料、成本、利润及选址方面问题的方法。

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关键词 微积分；导数；应用

0　引言

导数（Derivative）也叫微商，是一种特殊的极限，它反映了函数中因变量随自变量的变化而变化的快慢程度，[2]是微积分中重要的基础概念 是联系初等数学与高等数学的桥梁。在研究几何、证明不等式等方面起着重要的作用，在探究函数性质、寻求函数极值与最值以及描绘函数图形等方面也起着重要的作用，同时，也为解决某些实际应用问题提供了重要的方法。在实际生活中经常出现的一些谋求利润最大、耗材最少、或效率最高、位置最佳等与经济或科学研究有关的问题，这些问题称之为优化问题，如何找到解决该类问题的最佳方案是求解该类问题的关键，而利用导数就可以简捷地解决这些问题，从而真正解决我们的实际生活问题。

1　导数的概念及几何意义

2　运用导数求解优化问题的方法与注意事项

实际生活中的优化问题，如选址最佳、用料最省、利润最大等问题，本质上就是最值问题，这些问题与求函数的最值问题有着密切的联系，而这些问题可以转化为函数问题，利用导数知识得以简捷的解决。

2.1　解决优化问题的方法

首先对现实问题进行分析，找出各个变量之间的关系，建立相对应的函数关系式，将实际问题转化为用函数表示的数学问题，再结合实际情况确定自变量的定义域，创造函数在闭区间上求最值的情景，通过对函数求导、确定驻点和不可导点、比较函数在区间端点、极值点和不可导点处的函数值，获得所求函数的最大(小)值，最后将数学问题回归到现实问题，根据数学问题的答案回答优化问题最佳方案或策略。

利用导数求解优化问题的思路如图1所示。

２.2　导数解决实际问题的注意事项

在求解实际优化问题时，要结合实际问题的背景，求得的解要满足现实意义，舍去不符合现实意义的值，若遇到目标函数在有限开区间、闭区间或无限区间内只存在一个驻点的情况，如果该驻点处的函数值是目标函数的极值点，则该点即为目标函数的最值点。

３　导数在实际生活中的应用

３.1　导数在材料利用问题中的应用

例1　圆柱形金属罐装饮料厂为节约用料降低成本，在保证所装饮料体积一定的情况下，如何设置饮料罐的高与底半径，才能使材料减小到最小？（假设圆柱形饮料罐的上下底厚度分别是侧面厚度的2倍）

分析：该例题属于“用料最省”的实际问题，关键是写出用料函数表达式，将实际问题转化为数学问题，运用导数知识探求目标函数的最值。

例2[4]　某零件生产车间欲将一批半径为R 的金属圆球切削成圆柱形零件，该批圆柱形零件的高为多少时，能使原料的利用率最高？

分析：该问题也是一个“用料最省”问题，当圆柱的体积最大时，材料利用率最高，关键是根据问题描述写出圆柱体体积V与圆半径R、圆柱高h的函数表达式，将其转化为数学问题，利用导数求解目标函数的极值，从而解决问题。

解：设圆柱形零件的底半径为r，高为h，则其体积为V=πr2h

材料利用问题、成本利润问题以及选址等问题都是实际生活中最常见的问题，通过对这些问题的分析，可以确定它们都是最值问题，可以利用导数知识分析、求解。

4　结论

解决实际生活中的优化问题是导数在实际生活中的主要应用，通常的求解方法是首先根据现实问题建立相应的数学模型，列出优化问题中相关量的函数关系式，然后利用导数的相关知识去分析、求解，最后将计算结果回归到实际问题，从而推出所研究问题的结论。

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参考文献

［１］徐映红.骆桦.微积分中导数的应用[J].北京电力高等专科学校学报,2010(8):44-45.

［２］张选群.医用高等数学[M].人民卫生出版社,2010.

［３］邢建平.例谈导数在经济活动中的应用[J].管理观察,2010(22):240.

［４］王丽珍.解决经济中的最优化问题[J].数学教育学报,2005,6(30):27-28.

［责任编辑：邓丽丽］