排列与组合的教学

刘润云

（大同市卫生学校，山西 大同 037004）

【摘　要】本文以排列与组合的相关概念、原理及方法为基础，系统的分析了学生学习过程中存在的问题，并通过对“两步骤法”的总结，以期达到理清学生思路、高效求解的目的。

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关键词 排列组合；教学；原理；方法；两步骤法

排列与组合这部分内容，具有内容独特，比较抽象的特点。我们在给学生讲解这部分内容的时候，应从学生的实际出发，紧扣基础概念，基本思想方法，着眼于对学生能力的培养，达到根据典型题型而举一反三的效果。

１　排列与组合

本章主要内容有：两个基本原理，即加法原理和乘法原理，两个基本概念排列与组合，组合数的两个性质，排列组合应用题。这四个方面是教材的重点，而解应用题是难点。通过复习来引导学生进一步掌握好以下几个关键环节。

１.１　扣住原理，把握“四分”

加法原理：完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2钟不同的方法，…在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1＋m2＋…mn种不同方法。乘法原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…mn种不同方法。加法原理和乘法原理是解排列，组合的基础[1]。只要立足于这个基础，才能以原理应万变。排列是从n个不同元素中，任取m个元素按照一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法。与顺序有关。而组合是从n个不同元素中任取m个元素，不管顺序如何并成一组，（m≦n)。“四分”即仔细分析题意、正确区分排列与组合、科学分类、合理分布，以保证不重、不漏、不错、不乱。

说明：（1）通常把完成题设事件的所有方式分成相互排斥的若干“互斥”类，又在同一类中将完成事件的方式分成若干相互不影响的“独立步”。

（2）鉴别排列、组合的有效方法是将同一“独立步”中的两个元素交换位置，看完成事件的方式是否发生变化。若发生变化是排列问题，否则，是组合问题。一般先作组合处置，在鉴别，确定是否是排列问题。

（3）排列组合应用题中条件基本上是以文字给出的，特别是一些关键字眼，如“至多”、“不少于”、“恰好”、“至少”等，常常一字之差，面目全非，务必仔细审题。

１.２　题组归类、掌握典型

解排列组合应用题时，学生常感到变化多、复杂，以至产生为难情绪。由于教材所涉及内容可归结为几种典型模式，通过题组，由浅入深，引导学生分析对比，归纳总结，使学生手中有典型，有利于学生掌握规律，增强信心，提高解题技能。

例1、现有4名男同学，5名女同学。问：（1）全体排成一行，有多少种不同的排法？

１.３　切实掌握基本分析法[2]

审题后一般应先确定着眼于“因素”或“位置”，再采用直接解法或间接解法或两者兼顾。可从不同角度给出几种解法。（如例1中3）解法一：若甲在最右边位置有

说明：（1）以上的解法中第一种是直接解法，第三、四种是间接解法，第二种二者兼有。不少问题正面复杂，而反面分析简单易解。（2）问题中的元素的位置常不是明确的，这就需要根据题意建立相对应关系，再依据确定的“元素”或“位置”去进一部求解。（3）因分析角度不同，常可一题多解。在排列组合的问题中一题多解，有助于活跃学生的思维，提高解题技巧，也是检验解题正确与错误的重要手段。

１.４　化难为易

是指将问题在不改变实质的前提下变抽象为具体，变一般为特殊，变大数据为小数据，经过剖析将复杂的问题退回到最简单最基本的几个类型上去，优先安排那些受条件限制的特殊元素，特殊位置。

例2、 11名学生中5名只会英语，4名只会日语，另外二人即会英语又会日语，11名中选4名参加英语比赛，4人参加日语比赛，问有多少种不同的选法？此例是一较困难的问题（很明显与顺序无关是组合问题），然而学习和生活经验告诉我们一种简单合理的方法是先选参加英语（日语）比赛学生，后选参加日语（英语）比赛的学生，会两国语言的学生地位特殊，优先被考虑，即得出以下三类选法。(1)会两国语言

初学排列组合的学生难免会把排列组合应用题神秘化，而盲目的去猜套公式，经过学习总结经验，使得他们学会把具体问题抽象为排列组合问题，正确的代入公式。

２　理解公式的“两步骤法”

此公式是在推导组合数计算公式的过程中，从排列与组合的概念出发，根据乘法原理得到的组合数与排列数之间的一个重要关系式，它的重复性不只表现在组合数计算公式的推导方面，反之，还可以帮助我们复习巩固排列与组合的概念，对于我们解决一些有关排列与组合的应用题有着重要的启示作用。应该这样理解该公式：求从n个不同的元素中取出m个不同元素的排列数

，可以分一下两步来完成：第一步，求从这n个不同元素中取出m个不同元素的组合数；第二步，求每一组合中m个元素的全排列数。我们把这两个步骤形象的称之为“先分组，后排序”，按照这样的两个步骤可以更容易理解排列与组合的概念及关系。定义中的“从n个不同的元素中取出m个不同元素”，我们理解为“先分组”，将取出来的一组m个元素“按照一定的顺序排成一列”正是“后排序”。这里的“先分组”就是先得到一个组合，“后排序”则反映出排列与组合的根本区别。根据上述对排列与组合的概念的理解，我们在解决一些应用问题的时候也可以用这个“两步骤法”去进行分析，分析过程如下：（1）弄清要求的排列中有几个元素（2）这几个元素来自于哪一组元素，然后由乘法原理得出结果。下面举一个简单的例子来说明“两步法”的具体应用。

例3、从5名同学中任取3名同学分别担任3中不同的职务，共有多少种不同的排列方法？

分析:（1）3名同学分别担任3种不同的职务共有种方法。（2）这3名同学是从这5名同学中选出的，共种方法。由乘法原理可得，共有不同方法。由此例子可以看出“两步骤法”对于解决一般的排列组合问题很有效，可以帮助学生迅速找到问题结点，快速解答[3]。而对于复杂的问题而言，“两步骤法”也可以很好的帮助学生缕清思路，作为分析的基础。

综上所述，在带领学生复习排列组合这部分内容的时候，要努力使学生夯实基础、理解概念，并通过对典型题型的分析以及重要公式的剖析加深体会，以达到灵活运用知识进而举一反三的目的。

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参考文献

［１］管宏斌.解排列、组合题的常见误区[J].中学生数理化(高考版),2012(01).

［２］袁发启.浅谈直接法与间接法在排列组合应用题中的应用[J].周口师专学报,1994(04).

［３］夏云.排列组合教学心得[J].考试周刊,2009(02).

［责任编辑：曹明明］