基于Copula的创业板指数与上证指数的相关性研究

文/毕俊

【摘要】用ARMA-GARCH-t 模型构建创业板指数和上证指数的边缘分布，并用平方欧式距离评价各Copula 模型的拟合结果，根据创业板熊市和牛市特征划分两个时间段，分别用Clayton Copula 和GumbelCopula 对不同市场环境下尾部相关性的特点进行研究。结果表明，t-Copula 的拟合情况最好，创业板熊市时期与上证指数的尾部关系要强于创业板牛市时期，在创业板利好时期，创业板更能走出独立的行情。

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关键词 创业板指数；上证指数；ARMA-GARCH-t模型；Copula模型；尾部相关性

【作者简介】毕俊，青岛大学经济学院硕士研究生，研究方向：金融证券。

一、引言

随着在创业板上市的企业数量不断增加和资金量的不断扩充，创业板的重要性与日俱增，并对我国证券市场的影响也逐渐加深。虽然创业板和主板是两个独立的板块，但是创业板市场是否会分流主板市场的资金，从而影响两个市场的协调发展，创业板和主板市场出现同时上涨或者同时下跌表现出来的联动性如何，都成为了业界人士关注的焦点。

张金林、贺根庆（2012） 使用

DDC-MGARCH-VAR模型研究沪深市场和创业板市场之间的波动溢出效应，表明创业板的波动程度明显强烈于主板市场，创业板和主板市场的相关度较低。王奔宇（2012） 使用Granger因果检验等方法实证分析发现，在短期创业板的波动对主板有明显的溢出效应，而创业板受主板的影响有限。而薛襄稷、严玉华（2012） 运用协整检验和Granger因果检验对中小板、创业板和主板的研究分析得出了相反的结论，认为主板的冲击会大幅度地波动到创业板和中小板，而创业板和中小板由于规模小，未能对主板有深度影响。曾志坚、钟紫璇（2012） 运用小波多分辨分析及VAR-DDC-GARCH模型研究创业板和主板的溢出效应，发现从长期趋势看，两个市场存在双向均值和波动溢出；从短期趋势看，则不存在溢出效应。戴月（2013） 基于VECM 误差修正模型Granger因果检验表明，主板市场对创业板的溢出效应明显，而创业板的波动对主板的影响相对较小。以上研究表明，从长期来看，创业板和主板市场存在溢出效应，但相关性也比较低；从短期来看，不存在溢出效应。创业板和主板相互冲击的影响至今尚没有一个统一的结论，也表明我国的创业板上市的时间有限，还不够成熟，尚处在发展阶段。

近年来， Copula 理论在金融领域被广泛运用，Copula函数的优势在于可以将边际分布与联合分布分开考虑。本文采用ARMA-GARCH-t 模型来描述边缘分布，将Copula运用到创业板和上证指数的相关性研究，可以更加准确地反映资产间的相关结构。Patton （2001） 建立了关于马克和日元对美元汇率的对数收益的二元Copula 模型，表明Copula模型可以较好地描述外汇市场间的相关关系；韦艳华、张世英（2007） 运用Cop?ula模型对上海股票市场各行业板块动态相关性进行了相关的研究； Bart ram、Taylor &Wang（2007） 运用高斯时变Copula 对欧元引入欧洲17个国家或地区股票市场之间的相关性进行了研究；张自然、丁日佳（2012） 采用时变SJC-Cop?ula 模型较好地描述了人民币汇率境内SPOT 市场、DF市场和境外NDF市场之间的相依关系。

考虑到创业板对国家的经济发展具有重要的影响，可通过对创业板指数和上证指数尾部相关性的研究，分析一个市场上涨或下跌，另一个股票市场是否有相同的趋势，这种同时上涨或下跌的概率是多少，有关部门可据此对创业板和主板市场之间的联动关系进行市场调控，在进行投资时，可强化国内投资者对风险的认识和控制，从而保持我国证券市场的健康稳定发展。在分析资产尾部的相关特征时，本文则分别采用对下尾相关性的刻画能力和对上尾相关性刻画能力较强的Clayton Copula模型和Gumbel Copula模型度量尾部相关性，并且划分创业板熊市和创业板牛市两个时间段进行尾部的比较研究。

二、Copula 函数的理论

二元Copula函数C （·，·） 具有以下性质：C （·，·） 的定义域为I2，即[0，1]；C （·，·）有零基面且是二维递增的；对任意变量u，v∈[0，1]，满足C（u，1） =u和C（1，v） =v。假定F （x）、G （y） 是连续的一元分布函数，令u=F （x），v=G （y），则u、v 均服从[0，1]均匀分布，即C（u，v） 是一个边缘分布服从[0，1]均匀分布的二元分布函数，且任意一点（u，v） 在定义域内均有0≤C（u，v） ≤1。

本文选取了Gaussian Copula、t-Copula、阿基米德Copula函数Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula这5种Copula函数，其分布函数的表达式如下。

Gaussian Copula 函数具有对称性，因此无法捕捉到金融市场之间非对称的相关关系；t-Copu?la 与Gaussian Copula 函数类似，具有对称性，只能捕捉到金融市场之间对称的相关关系，但是t-Copula 函数具有更厚的尾部，能够更敏感地捕捉到变量间的尾部相关；Gumbel Copula 和Clay?ton Copula 函数分别具有上尾相关性和下尾相关性，分别适合于描述金融市场之间的上尾和下尾相关特性；Frank Copula函数的上尾和下尾相关系数均等于零，变量在Frank Copula 函数分布的尾部都是渐近独立的，因此Frank Copula 函数对上尾和下尾的相关关系的变化都不敏感，难以捕捉到尾部的相关变化。

在观察相关结构时，利用Kendall’s τ进行描述。设（X1，Y1）、（X2，Y2） 是相互独立并且与（X，Y） 具有相同分布的二维随机向量， 用P[（X1-X2）（Y1-Y2） >0]表示它们和谐的概率，用P[（X1-X2）（Y1-Y2） <0]表示它们不和谐的概率，这两个概率的差称为X 与Y 的Kendall 秩相关数τ，即

尾部相关系数的定义：设F（x） 和G（y） 分别为连续随机向量（X，Y） 的边缘分布，分别定义

为X与Y的上尾相关系数和下尾相关系数。若λup或λlo存在且大于0，则随机变量X、Y是上尾或下尾相关的；若λup或λlo为0，则X、Y的上尾或下尾是渐近独立的。

平方欧式距离（d2） 是指理论Copula 函数和经验Copula函数的距离。d2 值越小，表明拟合效果越好。假设随机向量（X，Y） 有样本（x1，y1）（x2，y2），…，（xn，yn），X、Y经验分布函数分别为Fn （x） 和Gn （x），则样本的经验Copula为

本文在构建边缘分布函数时，所使用的AR?MA （R，M） -GARCH （p，q） -t 模型具体形式如下：

三、实证分析

1.数据选取。我们选取创业板指数与上证A股指数每天的收盘价，时段为2010年6月1日至2013年12月31日，共867组数据，数据来自同花顺数据中心。相应的收益率序列取为对数收益率序列，即Rt=100（LnPt-LnPt-1）。

创业板指数和上证指数的对数收益率见图1、图2，相应的对数收益率序列的描述性统计见表1所示。

从图1、图2可以看出，数据是典型的高频金融类时间序列数据，两个收益率序列都具有尖峰、厚尾的簇动特征以及典型的随机游走特征，并可根据偏斜度、峰度和JB统计量拒绝两收益率序列服从正态分布的原假设。

2.参数估计结果。分别对两个序列进行ADF单位根检验（表2、表3）。

检验得到两个序列t 值分别是-21.75790和-29.35713，两个序列均通过了平稳性检验，并对创业板指数和上证指数收益率序列进行自相关和条件异方差检验，结果表明都具有拖尾性（图3、图4）。

由AIC 准则构建ARMA （p，q） 模型，创业板指数收益率序列选取p=6、q=6时AIC最小，上证指数收益率序列选取p=4、q=4时AIC最小，并分别对模型的残差序列进行滞后2期的ARCH-LM检验（表4、表5）。

表4、表5 中F 统计量对应的概率都趋近于0， 说明ARMA （6， 6） 和ARMA（4，4） 模型都是显著的；R2统计量对应的概率趋近于0，拒绝残差序列不存在ARCH 效应的原假设，说明创业板指数和上证指数的收益率序列存在明显的ARCH效应。

最后， 创业板指数GEM 序列用ARMA （6， 6） -GARCH （1， 1） -t模型的估计效果最好，估计结果为：

同时，上证指数SEM 序列用AR?MA （4，4） -GARCH （1，1） -t模型的估计效果最好，估计结果为：

创业板指数和上证指数的收益率序列的拟合评价标准见表6。

基于公式（1） 和公式（2） 构造的边缘分布，利用极大似然估计方法来估计各个Copula 模型的参数，并计算各个模型的Kendall’s τ和尾部相关系数（λ） 以及平方欧式距离（d2）（表7）。

从表7 可以看出，Kendall’s τ的值在0.3990到0.5097的区间，表明了创业板指数和上证指数的相关性并不强；Gaussian Copula和Frank Copula对应的上尾和下尾相关系数均为0，表明这两种模型无法刻画两个指数的尾部关系；t-Copula 对应的上尾和下尾都是0.27，说明该模型只能刻画对称的尾部；Gumbel Copula对应的上尾和下尾相关系数分别为0.5497 和0，说明该模型可以捕捉到两个指数收益率间的上尾相关关系；ClaytonCopula 对应的上尾和下尾相关系数分别为0 和0.6722，说明该模型可以捕捉到两个指数收益率间的下尾关系。并且基于平方欧式距离对各个Copula模型进行比较，发现t-Copula的d2 最小为0.0241，可以认为t-Copula 能更好地拟合创业板指数和上证指数收益率观察数据。

图5～9 是各Copula 函数的QQ 图， 也表明t-Copua的拟合情况最好。

考虑到t-Copula 只能刻画对称尾部，对非对称尾部的刻画能力不足， 而Gumbel Copula 和Clayton Copula 分别对上尾和下尾的刻画能力较强，我们根据创业板指数有一个熊市时期和一段牛市时期，并把时间段划分为2010年6月1日～2012 年12 月3 日和2012 年12 月4 日～2013 年12月31日两个阶段，对不同市场环境下捕捉金融时间序列尾部相关性的特点进行比较研究，结果见表8。

由表8可见，在创业板市场走势向下的2010年6 月1 日～2012 年12 月3 日时间段， ClaytonCopula和Gumbel Copula分别计算的下尾部相关系数0.6547和上尾部相关系数0.6125都大于向上走势2012年12月4日～2013年12月31日时间段的下尾部相关系数0.4427 和上尾部相关系数0.4350，说明在整个股市利空时期，创业板和上证指数同涨同跌的概率大，两个市场的尾部关系要强于创业板利好时期，而且创业板利好时期的尾部相关系数均小于0.5，也表明在创业板利好时期，创业板和上证指数的相关性降低，更能走出独立的行情。

这可能是由于最近几年整个股市都处在一个慢慢震荡下跌的熊市时期，国家出台的政策对整个股市所起的效果十分有限，但是经过长时间的低迷，创业板由于其规模小、政策利好的出台，而且里面有许多创新型企业以及其他有具有良好成长性企业的缘故，使得创业板出现了一个难得的投资机会，不仅吸引了市场的业内游资，而且吸引许多新的资金进入创业板，这些资金已逐渐由传统行业转移到新兴的朝阳行业，从而造成了主板低迷而创业板走出了一个为期一年的牛市的现象。

四、结论

1.从Kendall’ s τ的值在0.3990 和0.5097 之间，可以发现创业板指数和上证指数的相关性不强。由于创业板和主板是两个独立的板块，在规模、投资风格以及吸引资金的能力上都有各自的特点。

2.在整个股市利空时期，创业板和主板的相关性较强。由于中国股市长时间低迷，政策实施不见实效，使得股民对股市持失望态度，股市吸纳资金的能力极其有限。

3.在创业板利好时期，创业板能够走出独立的行情。由于政策上对创业板利好，造成了一段时间内资金的聚集效应，使得创业板指数节节攀升，国内投资者在进行投资选择时要根据不同时期不同板块的特性来进行投资选择。

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参考文献

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（责任编辑：夏明芳）