我国居民饮食习惯与人体营养健康的数学模型

　　[摘要]根筛选出产量前10的蔬菜品种，对已知数据，利用GM（1，1）模型公式，用MATLAB计算出各品种的发展系统a和灰作用量b.从而预测出2014-2020年前10蔬菜品种产量。根据蔬菜趋势分析的结果，引入模型，得到10种蔬菜品种发展趋势都是增长的，大白菜的需求加大。

　　[关键词]GM（1，1）；数据拟合；灰色系统模型；数值分析

　　中图分类号：F407.44文献标识码：A文章编号：1009-914X（2015）38-0021-03

　　一、问题重述

　　据相关资料显示，人体需要的营养素主要有蛋白质、脂肪、维生素、矿物质、糖和水。其中维生素对于维持人体新陈代谢的生理功能是不可或缺的，多达30余种，分为脂溶性维生素（如维生素A、D、E、K等）和水溶性维生素（如维生素B1、B2、B6、B12、C等）。矿物质无机盐等亦是构成人体的重要成分，约占人体体重的5%，主要有钙、钾、硫等以及微量元素铁、锌等。

　　中国水果和蔬菜种植面积和产量迅速增长，水果和蔬菜品种也日益丰富，中国居民生活水平不断提高，人们对人体营养均衡的意识也有所增强。然而多数中国居民喜食、饱食、偏食、忽视人体健康所需的营养均衡的传统饮食习惯尚未根本扭转，进而影响到果蔬生产。

　　结合为保障人体健康所需要的各种营养成分的范围和前面预测的人均消费结果，评价中国居民目前矿物质、维生素、膳食纤维等营养的年摄入水平是否合理。

　　二、模型假设

　　1、在不发生任何农业灾害的条件下，而且能保证社会安定水平没有太大的变化，人民安居乐业。

　　2、随着经济的增长，人们对健康越来越重视，食用健康有营养的蔬菜已成为一种时尚。

　　3、在不发生任何农业灾害的条件下，而且能保证社会安定水平没有太大的变化，人民安居乐业。

　　4、假设网络资料都是可靠的能够反映蔬菜市场的基本情况。

　　5、假设中国居民人口数量给估计预测带来的误差忽略不计。中国居民的饮食习惯在短期内不会突变。

　　三、符号说明（表1）

　　四、模型的建立与求解

　　4.1灰色系统中的GM（1，1）模型预测

　　灰色预测模型主要是基于GM（1，1）模型的预测，是将离散的随机数，经过生成变为随机性被显著削弱的较有规律的生成数，然后建立模型进行预测。

　　设数列做一次累加生产序列，得：

　　建立白化式的微分方程：

　　设按最小二乘法得到：

　　其中：B=

　　得到微分方程的解。

　　4.2蔬菜的刷选

　　第一步：做一次累加生成

　　第二步：确定数据矩阵B及

　　第三步：求参数a和b（借助MATLAB软件得到的结果）

　　a=0.004b=339.17

　　因此得到菠菜未来总产量预测模型为：

　　其中表示距离初始年的间隔年数，取1，2，

　　如果对作依次累加生成处理，即

　　x（1）（2）=x（0）（1）+x（0）（2）

　　x（1）（3）=x（0）（1）+x（0）（2）+x（0）（3）

　　数列与原始数列相比较，其随机性程度大大弱化，平稳程度大大增加。对于这样的新数列，其变化趋势可以近似地用如下微分方程描述：（1）

　　在（1）式中，a和u可以通过如下最小二乘法拟合得到：

　　（2）

　　在（2）式中，YM为列向量YM=[x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（M）]T；B为构造数据矩阵：

　　微分方程（1）式所对应的时间响应函数为：

　　（3）

　　（3）式就是数列预测的基础公式，由（3）式对一次累加生成数列的预测值

　　可以求得原始数的还原值：

　　（4）

　　在（4）式中，t=1，2，…，M，并规定。原始数据的还原值与其观测值之间的残差值ε（0）（t）和相对误差值q（t）如下：

　　（5）

　　对于预测公式（3），我们所关心的问题是它的预测精度。这一预测公式是否达到精度要求，可按下述方法进行精度检验。

　　首先计算：

　　其次计算：方差比c=s2/s1

　　及小误差概率：

　　4.3引入残差模型的数列预测

　　原始残差序列（预测数列与原始数列只差）

　　使用该数据序列建立残差GM（1，1）模型，

　　引入残差模型的影响，得新的预测序列

　　在利用最小二乘法作数据拟合中，用的较多的是多项式拟合。即要求出二项式中的A=（）使最小。

　　运用MATLAB同样的方法对产量前10蔬菜2014-1020年进行预测

　　综合以上预测结果，我们得出如图1所示2009-2020年主要蔬菜的人均消费量。

　　通过调查2009年—2014年各主要蔬菜人均需求量的数据，来画出各蔬菜人均消费量的折线图，可反应出大白菜的需求量最大，其余虽然需求量没有大白菜的需求量大，但是在日常生活中也是必不可少的。这些蔬菜的需求量占有总蔬菜需求量的大半。

　　五、模型评价

　　影响预测精度的因素主要有：资料和情报、预测方法，预测者的分析和判断。文中的模型的资料来源于科学出版社的《数学建模》，真实可靠；预测的方法经检验是科学的。当然每种预测方法都有优缺点，预测的结果不可能完全相同。如果用的不同的方法得到的预测结果比较相近，则可以考虑使用灰色预测模型GM（1，1）。

　　优点：（1）、可以充分利用已有的信息，尽管某些信息不够充分，但同属于一个系统的数据必然是有序的或有特定功能的。（2）、对于一些杂乱无的数据或者夹杂着无规则干扰成分的数据，从灰色系统模型的角度章只需要较少的已知数据，从灰色系统的角度看，这类数据并不一定是不可触摸的，而是将它们看成在一定范围内变化的灰色量，按适当的方法对原始数据进行处理，将灰色数转变为生成数，从生成数得到规律性较强的生成函数。（3）、利用现实性的生成率，使灰色系统尽可能变得清晰。

　　缺点：灰色系统介于黑色系统与白色系统之间，即系统内部信息已知部分信息未知，一般无法建立客观的物理模型，、其作用原理也不明确、内部因素也难以辨别、信息不完全、现象不明显，很难准确了解系统的行为特征，对其定量描述难度大，建立模型比较困难。

　　参考文献 

　　[1] 陈东彦，李冬梅，王树忠.《数学建模》[M].北京：科学出版社，2007. 

　　[2] 张德丰.《MATLAB概率与数理统计分析》[M].北京：机械工业出版社，2010年1月. 

　　[3] 范金城，梅长林.数据分析[M].北京：科学出版社，2007年8月。 

　　[4] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社2003年8月。 

　　[5] 张峭，王克.中国蔬菜消费现状分析与预测[J].农业展望，2006，10：28-31. 

　　[6] 郝利楠，刘徽，李艳平，马冠生.我国居民食物消费和需求的分析[J].中国食物与营养，2009，11：36-39. 

    作者：吕孝亮