矩阵滤波技术进展及其在阵列信号处理中的应用
2022-06-08
1引言
空域矩阵滤波技术是一种新兴的阵元域数据预处理技术。通过对目标探测区域或方位设置通带和阻带，通过滤波器对通带及阻带的响应及响应误差，设计最优化问题，即可实现空域矩阵滤波器对通阻带不同的响应效果，使得阵元域数据通过空域矩阵滤波器后，通带目标信号能最大程度无失真通过，同时使阻带区域的干扰被最大程度的抑制。
空域矩阵滤波技术为实现阵元域的空域数据处理，需要通过设计矩阵滤波器来实现。矩阵滤波器不仅可以实现空域滤波的功能，也可将之用于设计数字滤波器，两个应用方向虽然不同，但矩阵滤波器的设计方法基本相通。
在矩阵滤波器的设计中，Vaccaro将滤波器对通带响应误差、阻带响应和过渡带振幅作为目标函数及约束条件构造凸规划问题设计滤波矩阵，并将该矩阵滤波器用于匹配场定位前的滤波，以及用于设计希尔伯特变换滤波器[1，2]；鄢社锋和马远良等提出了广义空域滤波的概念，构造凸规划问题，并将其转化为二阶锥规划问题，使用最优化软件Sedumi求解，并将空域矩阵滤波器用于匹配场定位及平面波目标方位估计，使得波束形成获得了超出阵元数目的目标分辨能力[3]；Zhu和Wang等利用半无限最优化（Semi-infiniteoptimization）设计滤波矩阵，该方法主要用于设计数字滤波器，实现低通、带通或带阻数字滤波功能，该最优化问题的约束条件针对连续的阻带区间，并以积分的形式给出了通带响应误差，较离散形式的解更精确[4]；Macinnes利用伪逆（Pseudoinverse）设计矩阵滤波器，该方法能够直接给出最小二乘解，并将该滤波器用于常规波束形成，同样获得了超过阵元数的目标分辨能力[5]。
韩东等[6-9]在矩阵滤波器设计方面做了大量的工作，给出了最小二乘矩阵滤波器的设计及误差分析，提出了零点约束矩阵滤波器设计方法，提出了通带响应误差或阻带响应整体约束矩阵滤波器设计方法，提出了近场强干扰抑制矩阵滤波器设计方法，加权最小二乘矩阵滤波器设计方法，并对这些方法的误差进行了分析。这些方法都有闭式解，设计效率高，可用于实时阵列信号处理。
2现有矩阵滤波器设计方案
线列阵阵元数目为N，假设具有相同的角频率？棕0的D个窄带平面波信号源，从D个方向？兹=[？兹1，？兹2，…，？兹D]入射到该基阵，则接收阵采样信号表示为x（t）=A（？兹）s（t）+n（t）
式中，是D个具有相同角频率？棕0的信号源，是阵列接收数据的背景噪声，A（？兹）∈CN×D是由入射信号方向向量所构成的矩阵，A（？兹）=[a（？兹1），…，a（？兹i），…，a（？兹D）]，是第i个信号的入射方向向量，（·）T表示矩阵转置。
设计一个滤波器矩阵对接收阵列数据进行阵元域滤波，滤波输出为：y（t）=Hx（t）=HA（？兹）s（t）+Hn（t）
=AH（？兹）s（t）+nH（t）
滤波器方向向量的响应为：
为使该滤波器保留感兴趣方向的信号，滤除不感兴趣方向的噪声，并且限制过渡带的输出响应，可通过对特定的方向？兹i设计不同的k（？兹i），1？燮i？燮D值实现。
2.1最小二乘矩阵滤波器
定义由全空间方向向量构成的阵列流形为X=[a（？兹1），…，a（？兹M）]∈CN×M，期望响应向量构成的期望阵列流形为Y=[k（？兹1）a（？兹1），…，k（？兹M）a（？兹M）]∈CN×M。则可建立如下最优化问题设计最优空域矩阵滤波器：
（1）
可以通过建立Lagrange方程并通过求偏导数的方式，求得该问题的最优解：
（2）
即滤波器矩阵H等于期望阵列流形Y与原阵列流形X的右伪逆XH（XXH）-1的乘积。可以通过期望阵列流形中波达方向系数k（？兹j），1？燮j？燮M的设置得到不同类型的滤波器。
图1不同阵元数情况下矩阵滤波器效果
（左侧为滤波器响应，右侧为误差响应）
2.2零点约束矩阵滤波器
假设VP和VS=[VS1，VS2]分别为通带阵列流形和（左右）阻带阵列流形。
其中vpi、vsj分别是通带、阻带离散化后的第i、j个方向向量，P，S分别为相应的离散化方向向量数目。则可以建立如下的最优化问题，实现阻带区域上某强干扰的抑制：
SubjecttoHVs=0N×S
该最优化问题的解为：
（3）
图2零点约束矩阵滤波器对干扰抑制效果
（左侧为离散强干扰抑制效果，右侧为扇面强噪声抑制效果）
2.3通带响应误差零点约束
为了能够产生通带信号无失真通过的效果，可以使滤波器对通带响应的进行零误差约束，在此情况下，求阻带响应最小。
SubjecttoHVP-VP=0
该问题的最优解为：
（4）
2.4阻带响应整体约束
在整体划分通带和阻带的情况下，可以让阻带的整体响应小于某设定值，也可以使通带的整体响应误差小于某设定值，通过调节约束值，就可以产生对阻带内干扰的抑制调节作用。这里我们考虑阻带整体响应约束滤波器：
空域矩阵滤波技术是一种新兴的阵元域数据预处理技术。通过对目标探测区域或方位设置通带和阻带，通过滤波器对通带及阻带的响应及响应误差，设计最优化问题，即可实现空域矩阵滤波器对通阻带不同的响应效果，使得阵元域数据通过空域矩阵滤波器后，通带目标信号能最大程度无失真通过，同时使阻带区域的干扰被最大程度的抑制。
空域矩阵滤波技术为实现阵元域的空域数据处理，需要通过设计矩阵滤波器来实现。矩阵滤波器不仅可以实现空域滤波的功能，也可将之用于设计数字滤波器，两个应用方向虽然不同，但矩阵滤波器的设计方法基本相通。
在矩阵滤波器的设计中，Vaccaro将滤波器对通带响应误差、阻带响应和过渡带振幅作为目标函数及约束条件构造凸规划问题设计滤波矩阵，并将该矩阵滤波器用于匹配场定位前的滤波，以及用于设计希尔伯特变换滤波器[1，2]；鄢社锋和马远良等提出了广义空域滤波的概念，构造凸规划问题，并将其转化为二阶锥规划问题，使用最优化软件Sedumi求解，并将空域矩阵滤波器用于匹配场定位及平面波目标方位估计，使得波束形成获得了超出阵元数目的目标分辨能力[3]；Zhu和Wang等利用半无限最优化（Semi-infiniteoptimization）设计滤波矩阵，该方法主要用于设计数字滤波器，实现低通、带通或带阻数字滤波功能，该最优化问题的约束条件针对连续的阻带区间，并以积分的形式给出了通带响应误差，较离散形式的解更精确[4]；Macinnes利用伪逆（Pseudoinverse）设计矩阵滤波器，该方法能够直接给出最小二乘解，并将该滤波器用于常规波束形成，同样获得了超过阵元数的目标分辨能力[5]。
韩东等[6-9]在矩阵滤波器设计方面做了大量的工作，给出了最小二乘矩阵滤波器的设计及误差分析，提出了零点约束矩阵滤波器设计方法，提出了通带响应误差或阻带响应整体约束矩阵滤波器设计方法，提出了近场强干扰抑制矩阵滤波器设计方法，加权最小二乘矩阵滤波器设计方法，并对这些方法的误差进行了分析。这些方法都有闭式解，设计效率高，可用于实时阵列信号处理。
2现有矩阵滤波器设计方案
线列阵阵元数目为N，假设具有相同的角频率？棕0的D个窄带平面波信号源，从D个方向？兹=[？兹1，？兹2，…，？兹D]入射到该基阵，则接收阵采样信号表示为x（t）=A（？兹）s（t）+n（t）
式中，是D个具有相同角频率？棕0的信号源，是阵列接收数据的背景噪声，A（？兹）∈CN×D是由入射信号方向向量所构成的矩阵，A（？兹）=[a（？兹1），…，a（？兹i），…，a（？兹D）]，是第i个信号的入射方向向量，（·）T表示矩阵转置。
设计一个滤波器矩阵对接收阵列数据进行阵元域滤波，滤波输出为：y（t）=Hx（t）=HA（？兹）s（t）+Hn（t）
=AH（？兹）s（t）+nH（t）
滤波器方向向量的响应为：
为使该滤波器保留感兴趣方向的信号，滤除不感兴趣方向的噪声，并且限制过渡带的输出响应，可通过对特定的方向？兹i设计不同的k（？兹i），1？燮i？燮D值实现。
2.1最小二乘矩阵滤波器
定义由全空间方向向量构成的阵列流形为X=[a（？兹1），…，a（？兹M）]∈CN×M，期望响应向量构成的期望阵列流形为Y=[k（？兹1）a（？兹1），…，k（？兹M）a（？兹M）]∈CN×M。则可建立如下最优化问题设计最优空域矩阵滤波器：
（1）
可以通过建立Lagrange方程并通过求偏导数的方式，求得该问题的最优解：
（2）
即滤波器矩阵H等于期望阵列流形Y与原阵列流形X的右伪逆XH（XXH）-1的乘积。可以通过期望阵列流形中波达方向系数k（？兹j），1？燮j？燮M的设置得到不同类型的滤波器。
图1不同阵元数情况下矩阵滤波器效果
（左侧为滤波器响应，右侧为误差响应）
2.2零点约束矩阵滤波器
假设VP和VS=[VS1，VS2]分别为通带阵列流形和（左右）阻带阵列流形。
其中vpi、vsj分别是通带、阻带离散化后的第i、j个方向向量，P，S分别为相应的离散化方向向量数目。则可以建立如下的最优化问题，实现阻带区域上某强干扰的抑制：
SubjecttoHVs=0N×S
该最优化问题的解为：
（3）
图2零点约束矩阵滤波器对干扰抑制效果
（左侧为离散强干扰抑制效果，右侧为扇面强噪声抑制效果）
2.3通带响应误差零点约束
为了能够产生通带信号无失真通过的效果，可以使滤波器对通带响应的进行零误差约束，在此情况下，求阻带响应最小。
SubjecttoHVP-VP=0
该问题的最优解为：
（4）
2.4阻带响应整体约束
在整体划分通带和阻带的情况下，可以让阻带的整体响应小于某设定值，也可以使通带的整体响应误差小于某设定值，通过调节约束值，就可以产生对阻带内干扰的抑制调节作用。这里我们考虑阻带整体响应约束滤波器：