如何正确认识两个重要极限

于　娟　樊小琳

（新疆大学，新疆 乌鲁木齐 830046）

【摘　要】本文通过两个重要极限的理解和认识，揭示了两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中的重要作用。

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关键词 两个重要极限；微积分；重要性

0　引言

在高等数学的教学中，两个重要极限非常重要。让学生能够全面认识和体会两个重要极限的重要性，对于刚接触极限，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。可能有学生会问为什么把它们叫做两个重要极限？重要性体现在什么地方？它们既是求极限的重要公式，又是建立导数公式、积分公式的重要基础。它们能将许多复杂的极限运算迅速简化，应用非常灵活。所以说，两个重要极限可以说是整个微积分的基础，它们的重要性不言而喻。两个重要极限的重要性主要体现在他们既是求极限的重要公式，又是导数、积分公式的重要基础，本文就从这两方面分析两个重要极限的重要性。

1　两个重要极限在极限计算中的重要地位

第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限，若分子分母分别求极限变得到一个不定的结果，这一类型是0/0型未定式。第二个重要极限属于1∞型未定式的极限。由这两个公式，通过变量代换法，可以得到它们的各种变形。它们能将许多极限运算迅速简化，通过利用两个极限及其各种变形求出一系列0/0型与1∞型未定式的极限。两个重要极限是极限理论的重要内容，也是解决极限问题的一种有效方法。

例如，如果在x的某个变化过程中，limv（x）=0且v（x）≠0，则

对于0/0型与1∞型未定式的极限，我们可以用两个重要极限来试试。下面举例来说明在极限的计算中如何运用两个重要极限。

这里也用到了复合函数的极限运算法则。

2　两个重要极限是建立导数公式、积分公式的基础

在函数的学习中，我们熟悉的基本初等函数分为常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数六大类。由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合所得到的函数称为初等函数。微积分中我们经常需要计算初等函数的导数和积分。导数的定义就是建立在极限的基础上的。如果我们求导数都用导数的定义计算，显然会很繁杂，这样就会限制导数的广泛应用。实际上，在求函数的导数时，我们根据基本初等函数的导数公式和求导法则可以求出任何初等函数的导数。因此，基本初等函数的导数公式都尺利用两个重要极限求得的，两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用。

例2.1　正弦函数的导数公式.

由于基本初等函数的积分公式都是由于它们相应的导数公式得到的，因此，没有两个重要极限，基本的积分公式也是无法得到的。两个重要极限本身很简单，但是由它们却可以引出很多话题。可以说，两个重要极限是全部微分积分学的基础，在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，所以这两个重要极限极其重要。我们在平时的学习中要注意总结各种知识之间的内在联系，融会贯通，从而更好地掌握所学知识。

［责任编辑：曹明明］