一类椭圆型方程组解的存在性
2022-06-09
刘越里 董芳芳
(天水师范学院数学与统计学院，甘肃 天水 741001)
【摘 要】本文研究了一类依赖于正参数λ椭圆型方程组，利用变分方法得到方程组存在最小能量解且为正解。
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关键词 最小能量解；正解；山路形结构
The Existence of Solution for a Class of Elliptic Systems
LIU Yue-li Dong Fang-fang
(College of Mathematical and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu 741001)
【Abstract】By studying a class of elliptic systems depending on a positive parameter λ, a positive least energy solution was given through variational methods.
【Key words】Least energy solution;Positive solution;Mountain Pass geometry
※基金项目：天水师范学院中青年教师科研资助项目（TSY201201）。
作者简介：刘越里(1981—)，甘肃天水人，硕士，天水师范学院数学与统计学院，讲师，研究方向为偏微分方程。
１ 引言
非线性偏微分方程（组）在分析，物理，力学等领域起到重要作用，其弱解的存在性，正则性及稳定性是偏微分方程理论中研究的一个重要课题[1-3]。本文研究了一类非线性椭圆型方程组能量泛函的临界点的存在性，并且该解为最小能量解，进一步利用强极大值原理表明所得到的方程组的弱解为正解，推广了文献[4-6]的主要结果。
考虑具有变分结构的非线性椭圆型方程组
由假设（H1）和（Ｈ２），容易得到Iλ∈C1（Ｘ，Ｒ），Iλ的临界点为（Ｓλ）的弱解。本文得到（Ｓλ）最小能量解的存在性，进一步所给出解为（Ｓλ）的正解。
定义1.1[4] 称z＝（u，v）为正，当且仅当u，v均为正。
定理1.1 假设（H1）和（Ｈ２）成立，则存在∧＞０，使得对λ≥∧,方程组（Ｓλ）有最小能量解zλ且为正解。
定理1.1为文中主要结果。
2 预备知识及引理
由引理（2.2）及假设（H2）可以得到对任意给定λ＞0,Iλ∈C1（Ｘ，Ｒ）。
定义2.1[7] 设E为巴拿赫空间，I∈C1（E，Ｒ），（zn）?奂Ｅ，若I（zn）→c，I′（zn）→０，则称（zn）为（ps）c序列；进一步若（ps）c序列具有收敛子列，称I满足（ps）c条件。
（iii）若c≠0，且λ≥１则存在与λ无关的正常数γ０使得c≥γ０＞０.
证明 引理2.3同文献[4]中引理3.1的证明.
证明 引理2.4的证明同文献[4]中引理3.2.
引理2.5 设λ≥1，存在与λ无关的β，ρ＞0及z0∈X,使得
（i）当｜｜z｜｜λ=ρ时，Iλ（z）≥β；
（ii）Iλ（z0）≤Iλ（0）=0且｜｜z｜｜λ＞ρ。
证明 引理2.5同文献[4]中引理3.4的证明。
3 定理1.1的证明
同理可得
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参考文献
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［责任编辑：曹明明］