向量的教学价值

杨国荣

（大连市第十三中学，辽宁 大连 116000）

众所周知，向量是现代数学的基本概念之一。在向量的基础上，目前的线性代数、解析几何和微分几何中已建立了多维空间的各种理论，所以在高中数学教材中引入向量概念也是数学现代化的需要。向量自身具有着文化价值、教育价值、实用价值等，在生产实践中有着广泛的应用，是数学学科与物理学科间联系的实例，是初等数学与高等数学的衔接点，这就是向量受到众多国家数学课程改革青睐的魅力所在。

１　有助于学生感受数学的应用价值

向量具有丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具，在生产实践中有着广泛的应用，在可运动机器人设计与操控、在天气预报中测风向和风速、卫星定位、飞船设计中有着广泛的应用。贯穿于物理学的矢量如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等，都是数学中的向量的现实原型，力的合成与分解是向量的加减运算，物体受力做功是向量的数乘运算，已知力与力臂求力矩、磁场中通电导体所受的安培力等运算就是向量的外积，即叉乘。这为数学中的向量提供了丰富的物理背景。

在《普通高中课程标准实验教科书·数学》（人民教育出版社）必修4的阅读与欣赏中，《向量概念的推广与应用》一文中简要介绍了利用向量的运算解决许多实际问题的实例。向量的引入充分体现学科交叉并提高学生学习数学的兴趣。因此，向量的学习，有助于学生认识数学与实际生活以及物理等学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用。

2　有助于学生进一步理解数学运算，发展运算能力

向量作为代数研究对象，它可以像数、字母、多项式一样进行运算。从数运算，字母、多项式运算到向量运算，是运算的一次飞跃。数运算、多项式运算都是A×A→A型的代数运算，数与多项式的运算属于A×B→B型的代数运算。向量的加减法运算类似于数的加减法，是向量集合自身进行运算，运算的结果仍为向量，属于A×A→A型。向量的数乘运算类似于实数与多项式的数乘运算形式，运算结果也为向量，属于A×B→B型。向量运算除了前两种类型的运算，还有向量的积运算，高中只介绍了向量的数量积运算，它属于A×A→B型。数量积运算具有与代数运算不同的一些运算律，它对于向量集合自身不封闭，不满足结合律，不满足消去律。如：

这些运算及其规律赋予向量集合特定的结构，可以赋予向量以长度，使得向量具有一系列丰富的性质。向量的学习，有助于学生进一步体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，为理解函数、映射、变换运算，矩阵运算等奠定了基础。

3　有助于学生掌握处理几何问题的有效方法

向量集数与形于一身，它与生俱来就是数形结合的。一是“数”的形式，即利用一对实数对既可表示向量大小，又可以表示向量的方向；二是“形”的形式，即利用一条有向线段来表示一个向量。作为代数对象，向量可以进行运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象及它们的位置关系；向量有长度，向量的数量积运算可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。如：

例3　如图，已知ΔABC中，∠C是直角，CA=CB，D是CB的中点， E是AB上的一点，且AE=2EB. 求证：AD⊥CE.

分析：借助向量垂直的充要条件解题，即证明

证明：设此等腰直角三角形的直角边长为a，则

向量提供了一种通过代数运算刻画几何对象及其位置关系以及几何度量问题的工具，它可以使图形量化，使图形间关系代数化。例如在引入法向量之后，在处理线面角、二面角等问题时就可以把非常抽象的几何问题变成便于学生操作的代数问题，进一步降低了教学难度，学生接受起来也比较容易，同时也给学生提供了另外一种处理问题的方法—算法化思想。它成为几何学的基本研究对象，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出精确的最终结论。因此，向量的学习，有助于学生掌握处理几何问题的代数方法，培养学生的数形结合的思想。

4　有利于拓宽学生解题思路

向量在解决数学问题时显现出强大的工具性。向量方法既是数学思想方法的体现，又是问题解决的一种方法途径。向量知识与其他知识产生联系，为解决很多抽象的数学问题提供简便的方法，具有普遍性、广泛性、有效性。向量法在代数问题和几何问题中均有体现，充分体现了向量解决问题的优越性。例如，和（差）角的三角函数公式、线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理、复数等都可以用向量为工具进行推导。在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的问题增加一种理想的代数工具，大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤，使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密，提高学生的空间想象能力和学习效率。从高考新课程卷来看，将向量与函数、解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点,因此，研究向量与其它内容的综合运用，对培养学生的能力，把握当今高考命题改革趋势，有着重要的意义。向量作为基本的、重要的数学工具，为学生提供了新的视角，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。本文将在下一章中对向量在高中数学中的应用详细举例说明。

5　向量的引入有利于与高等教育衔接

学习《高等代数》的向量空间章节先简要回顾高中数学教材中的向量概念，在此基础上进一步学习。在《解析几何》中，，像求曲面的切平面、空间直线方程等几何空间的曲面问题也涉及向量知识。高中教材中引入向量知识，简要介绍向量概念及运算，为进入高等学府继续学习高等数学起到“先行组织者”的作用，便于与高等教育做好知识衔接，便于更好的促使新旧知识间的联系。

［责任编辑：汤静］