如何做好小波解分数阶微分方程时的误差估计
2022-06-09
牛红玲
（河北民族师范学院，河北 承德 067000）
【摘 要】针对求解分数阶微分方程数值解和所得结果误差大小问题.采用Haar小波分数阶积分算子矩阵方法，得到一类变系数分数阶微分方程数值解.利用所得算子矩阵将原分数阶微分方程转化为代数方程组，进而便于编程求解.讨论算法的误差分析，给出相应的误差估计式，并证明该算法是收敛的.结果表明：随着点数的增多，所得数值解与精确解的误差也越来越小.最后，数值算例验证了方法的有效性以及理论分析的正确性.
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关键词 Haar小波；变系数；分数阶微分方程；算子矩阵；误差分析；误差估计式；精确解；数值解
分数阶微积分计算是一个久远的话题，它最早起源于Leibniz和Newton建立的整数阶微积分理论初期.从17世纪末至今，分数阶微积分理论已经发展了几百年.在世界各国科研人员的研究和推动下，分数阶微积分理论取得了巨大进展，实际中的应用发展快速.复物理、力学、生物和工程的建模问题是推动分数阶微积分理论和应用研究的力量，这些模型中的分数阶微积分的阶数具有一定的物理意义和几何意义.
近年来随着分数阶导数成为描述各类复杂力学与物理行为的重要工具，分数阶微分方程的数值算法研究也备受关注.针对不同类型的分数阶微分方程已经提出不同的数值算法，这些算法主要有，有限差分法、Adomian分解法，广义微分变换法等.小波法求分数阶微分方程数值解是最近新型的数值方法.根据小波基函数的不，相应的提出了许多小波方法求解分数阶微分方程，Rehma和Khan利用Legendre 小波求解线性和非线性分数阶微分方程.Saeedi等采用CAS小波求解一类非线性Fredholm积分微分方程.但就该方法误差分析的研究还相对较少.本文基于Haar小波分数阶积分算子矩阵研究一类分数阶微分方程，重点讨论该算法的误差分析.
1 分数阶微积分的定义
分数阶微积分理论在发展过程中，出现了多种分数阶微分定义，本文讨论Capotu分数阶微分定义及Riemann-Liouville分数阶积分定义.
6 结论
利用Haar小波分数阶积分算子矩阵求解了一类分数阶微分方程，将原问题转换为求解线性代数方程组问题.误差分析证明了该算法是收敛的，同时给出了误差估计式，得到了相应的误差上界.文中所提出的方法计算量小，是一种有效的算法.
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参考文献
［1］任建娅，尹建华.小波方法求一类变系数分数阶微分方程数值解[J].辽宁工程技术大学学报:自然科学版，2012，31(6):925-928.
［2］尹建华，任建娅.Legendre 小波求解非线性分数阶Fredholm 积分微分方程[J].辽宁工程技术大学学报:自然科学版，2012，31(3):405-408.
［3］Saeedi H，Mohseni M.A CAS wavelet method for solving nonlinearFredholm integro-differential equations of fractional order[J].Commun.Nonlinear sci. Numer. Simulat.，2011，16(4):1154-1163.