自然·简约·求实——“异面直线”教学设计与思考

（江苏省高邮中学，225600）

笔者认为：数学教学要自然——符合人类认知的需求和习惯，直观而有序；要简约——适应数学的根本追求，教学内容聚焦，教学环节简化；还要求实——把握数学知识的本质，让学生学得踏实。下面以高中数学“异面直线”的教学为例，对此进行简单说明。

一、复习回顾

投影或预先在黑板上画一个三棱柱ABC?A1B1C1，如图1。指出：“上一节课，我们把初中学过的两条直线平行、相交的部分性质在空间

作了推广。关于平行（a∥b），有公理4：a∥b，c∥b?a∥c。关于相交（m∩n=A），有等角定理：AB∥A1B1，AC∥A1C1?∠BAC=∠B1A1C1。”

［设计意图：借助于三棱柱，简捷、直观地复习旧知识。］

二、新知导入

设问：“如图1，直线m与n1、直线AB与A1C的位置关系如何？”又问：“校园内旗杆所在的直线与地面上不经过杆底的直线（比如教学楼墙面与地面的交线）是什么位置关系？教室内黑板面右边界线与你的课桌面左边界线相交或平行吗？”引导学生发现两条直线的新的（第三种）位置关系。提问：“与平行、相交的共性特点（共面）比较，起个什么名称比较贴切？”让学大胆地说，自然地得出“异面直线”的名称。

［设计意图：从数学到生活，让学生学会用数学的眼光观察现实世界。通过问题情境，自然引出课题。］

三、新知探究一：定义

设问：“怎么定义异面直线？”引导学生说出他们能够说出的定义——既不相交又不平行的两条直线叫作异面直线。提问：“能换一种文字语言来表述吗？”让学生尝试着表达，比如：不在同一个平面内的两条直线叫作异面直线，不共面的两条直线叫作异面直线，等等。提问：“分别在两个平面内的两条直线是异面直线吗？如图2，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，直线A1D1在平面A1B1C1D1内，BC在平面ABCD内，它们是异面直线吗？直线A1C1在平面A1B1C1D1内，BC1在平面BCC1B1内，它们是异面直线吗？”学生容易发现它们在同一个平面内，因而不是异面直线。给出课本定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线。注意对“任何”加强语气。

［设计意图：让学生自己下定义，学生才能对概念有更好的理解和更深的印象。学生一般不会一下子就说出教材中异面直线的定义。教师要通过提问来引导他们转换角度表述、推敲语言使用，从而体会数学定义的概括性和精确性。］

四、新知探究二：图示

设问：“怎样画图表示异面直线？”让学生动手画画试试，并请一些学生板演。不少学生会画出图3，但是他们会感觉

立体感不强，所以并不满意。这时可以投影学生的作品，将其改成图4和图5，即用联系、变化的观点，由两条直线a、b原来在一个平面内，其中的一条被旋转或平移，得到不在一个平面内的情况。在参照平面的衬托下，学生会感觉

立体感增强了。此外还要指出：“异面直线没有专门的符号语言表示，‘a与b异面’的表述已经比较简单了。”

［设计意图：很多教师对“异面直线图示”的教学并不重视，直接给出图4、图5，轻描淡写地就过去了。实际上，教学工作的重心是努力“将课本上知识的学术形态转化为教师的教育形态、学生的学习形态”，即“唤醒”知识（“弥补”教材的“不足”），而不是给予知识。这里采用联系、变化的观点，作出了很好的“转化”。］

五、新知探究三：判定

设问：“如何判定两条直线是异面直线？”出示练习：“在图6所示的正方体ABCD?A1B1C1D1中，试判断：（1）直线AA1与BC的位置关系；（2）直线AA1与BD1的位置关系。”学生不难回答。然后，请一个学生到讲台上自己说出两条直线（设问），让下面的同学判断其位置关系（是不是异面直线）。接着，加大难度提问：“直线D1B与AC位置关系如何？”进一步提问：“直线D1B与A1O，或A1B与D1O呢？其中O是BC1的中点。”学生会感到困难。

引导学生探究：“回到图4，记直线a与平面α的交点为O，直线a不在平面α内，则其上一定有一点（如点P）不在α内，那么我们能否借助于平面α，换一种方式来描述直线a与b异面呢？”

慢慢启发学生思考，引导学生得出定理（结论）：过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。引导学生用符号语言刻画：l?α，P?α，O∈α，O?l?PO与l异面。引导学生简单证明：假设直线PO与l共面，因为O?l，所以过点O和直线l的平面有且只有一个，所以PO和a都在平面α内，于是P∈α，这与P?α矛盾，故PO与l是异面直线。

要求学生回到上述问题，利用判定定理解答，比如：判断直线D1B与A1O的位置关系，一个思路是考察D1B与平面A1BC1，另一个思路是考察A1O与平面ABC1D1。指出：“运用定理判断的关键是找出参照平面，这里的两种方法选择了不同的参照平面。”

［设计意图：从简单的问题出发，不断加深难度，自然地引起对判定定理的需求，引出对判定定理的探究。同时注意让学生提出问题，培养学生发现问题和提出问题的能力。在判定定理的证明中，注意培养学生数学抽象、逻辑推理以及运用数学语言进行表达的能力。］

六、新知探究四：度量

设问：“如何合情合理地刻画（度量）不同位置关系的两条异面直线呢？”提问：“在图6中，我们知道AB与A1D1、AB与A1C1都是异面直线，它们有什么区别呢？能否类比初中学过的相交直线进行描述？”同时利用两根棒针在空中旋转演示。自然引出两条异面直线a与b所成的角的概念。

引导学生探究：回到图4、图5，将两条异面直线“回归”（平移）共面，再用平面几何知识刻画（度量），可以得到结论：由等角定理可知，角的大小与点O的选取无关（为了方便，可以将点O取在其中一条直线上，如相关线段的中点、端点等）；两条异面直线所成角的范围为0,

π2。同时，可以引出概念：如果所成的角为π2，则称异面直线a与b垂直，记作a⊥b。

出示练习：“如图6，在正方体中，异面直线AA1与BC、AA1与BC1、AC与BC1所成的角分别是多少度？”学生不难完成。

此外，关于两条异面直线之间的距离，这里可以顺带提一下：以图6所示的正方体中A1D1与AB之间的距离为例，让学生类比思考如何合情合理地刻画（度量）。因为平面几何是用与两条平行线都垂直相交的线段的长表示两条平行线之间的距离的，所以学生不难理解要用与两条异面直线都垂直相交的线段的长度量两条异面直线之间的距离。

［设计意图：通过类比引导学生自然得出异面直线所成的角的概念，对其相关性质展开探究，其中渗透了空间问题平面化的思想，能够促使学生领悟知识之外数学的本质。继续用前面的基本图形进行说明，进一步体现了简约的思想。不因为教材没有安排（放到“空间向量”里面去了）而忽略“两条异面直线之间的距离”，进一步体现了“自然最重要，求真务实是追求”的教学理念，让所有学生共享数学思考的乐趣。］