从“算术思维”到“代数思维”——从《方程的意义》的教学谈数学模型的建立

解莉

（山东省青岛市书院路小学，266100）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调，数学教学要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。在多年的教学实践中，我的体会是：数学模型的建立，应首先创设一个学生熟悉的问题情境，然后在现实问题解决的过程中，引导学生通过观察、实践、探索、思考、交流、应用等有效的数学活动，逐步建立问题的基本数量关系和结构形式。

青岛版小学数学五年级上册《方程的意义》一课的教学重点是：理解方程的含义，体会方程是刻画现实世界中等量关系的数学模型，初步体验方程思想。什么叫方程？教材中是这样叙述的：含有未知数的等式是方程。然而，在实际教学中，学生对于方程的理解往往是有偏差的。比如，学生常常会列出这样的“方程”：x＝450－200。我们该如何解读呢？按照教材中的定义，它应该是方程（既含有未知数，又是等式）；但细细想来，它又完全是算术的方法，而没有体现出方程的思想。其实，从“算术思维”到“代数思维”，是学生认知发展的飞跃。真正理解方程的意义，着力于概念的本质，寻找到未知量和已知量的关系，把未知量当成知道的（已知量），找到未知量和已知量之间平衡的关系——这，是本课教学的重中之重。

一、教学片段

【片段1】

（教师课件出示图1所示的天平。）

师观察天平，你发现了什么？

生天平的指针在中间，天平是平衡的。

师如果把你的身体当作一个大天平，请用肢体语言表述天平此时的状态。

（学生争先恐后地表演。）

师一起想象：在天平的左盘放一个60 g的苹果，天平会发生什么变化？请表演。

（学生思考，表演“左臂倾斜”。教师课件展示天平的变化过程。）

师嗯，天平的状态这样了。再来想象：再在天平的右盘放一个100 g的大菠萝，天平的状态怎样？请表演。

（学生表演“右臂倾斜”。教师课件展示天平的变化过程，如图2。）

师能用一个数学式子表示天平的状态吗？

生60＜100。

生100＞60。

师同意吗？真不错，同学们还会用数学式子来表达天平两边的质量关系！注意了，此时我再在天平的左盘放一个40 g的苹果，想象一下，天平的状态怎样？请表演。

（学生表演“两臂平衡”。教师课件展示天平的变化过程，如图3。）

师能用一个数学式子表示天平的状态吗？

生60+40=100。

师这个式子中的“＝”表示什么意义呢？

生表示左右两边物品质量相等的关系。

师理解得真到位，原来“＝”还可以表示两边相等的关系。

【片段2】

（教师课件出示图4。）

师仔细观察，有什么思考？能谈谈自己的想法吗？

生天平指针在中间，说明天平平衡了，也就是两边秤盘中物体的质量相等。

生左盘中一碗米粉的质量等于右盘的70 g砝码的质量。

生老师，我还发现左边一碗米粉的质量由两部分组成。

生是呀，由米粉和碗的质量组成。也就是米粉和碗的质量等于70 g。

（学生纷纷点头表示同意。）

师真不错，同学们通过观察、思考，表达了自己的观点，描述了自己的思考过程，找到了左盘和右盘之间的等量关系。如果碗的质量是20 g，你能尝试用一个式子表示这个等量关系吗？

（学生独立思考后小组研究，发现问题的焦点在于米粉的质量不知道。）

师展示一下各个小组的研究成果吧！

生20+a=70。因为米粉的质量不知道，我们用未知数a表示。

生20+x=70。我们用未知数x表示米粉的质量，左盘和右盘是等量的关系，所以用“=”连接20+x和70。

师同学们能学以致用，成功地用一个式子表示了天平中的等量关系。

【片段3】

（教师课件出示图5。）

师认真观察，你了解到什么数学信息？有等量关系吗？能描述吗？

（学生独立思考，同桌之间议一议。）

生1200 ml÷每杯的容量=6个杯子，1200÷x=6。

生每杯的容量×6个杯子=1200 ml，6x=1200。

师看来那个大天平已经化作43个小天平送到了同学们的心里，我们用心中的小天平解决了实际的问题。我们再来回顾一下，这些式子是怎样得来的？它们有什么共同特点？想好了，先在小组内谈一谈。

生都是根据问题中的等量关系写出的等量式子。

生这些式子中都有未知数，等量关系中的未知数都用字母表示。

【片段4】

（教师引导学生观察板书的式子并进行分类。）

生我们组按照等式和不等式来分，分成了两类。有大于号、小于号的一组是不等式，另一组是等式。

生我们组可以继续来分，将40+60=100单独分了出来，它不含未知数，而其他的等式都含有未知数。

（学生归纳总结，得出“含有未知数的等式叫方程”。）

师同学们说得真好，像这样含有未知数的等式叫方程。你能举例说几个方程吗？

（学生举例。）

二、教学思考

《方程的意义》一课的教学，需要从两个方面入手：

一是认识方程的隐性特征，即方程的本质特征。课堂上，我借助天平情境创设有效的学习活动，帮助学生初步建立方程模型。比如，片段1中，

我引导学生观察、想象，用肢体语言表述天平的状态。学生学习兴趣高涨，积极表演着自己的思考，从而初步建立了等量、不等量关系的感性模型。继而，我引导学生用数学式子表示天平左右两边的质量关系。学生充分地感受、体会，写出了“60+40=100”这个等式，并认识到：“＝”还可以表示两边相等的关系，可以把等号左右的两个部分看作两个相等的整体结构。学生的感性认识得到了一定的提升。片段2和片段3中，学生在前面学习的基础上，继续观察、思考，开始尝试用数学语言表达天平的现象。然后，学生独立分析，发现其中的等量关系，通过交流表达以及同桌商议、小组讨论、师生互动等活动，使头脑中的等量关系逐步清晰，并在教师的引导（举例、提问、追问）下，将天平两边这种等量的关系用数学符号表达出来，完成了从具体的数量关系到符号表达的抽象过程。从“天平”到“式子”，再从“心中的天平”到“等量关系”，循序渐进地归纳出方程的概念，突出了方程刻画的是等量关系，将方程概念与学生已有的等量关系经验联系起来，使学生深刻地体会到方程是刻画现实世界中等量关系的重要模型，顺利地完成了从“算术思维”向“代数思维”的初步过渡。

二是认识方程的显性特征，即“含有未知数”和“等式”。课堂上，学生通过两次比较，认识了方程的外部特征，理解了方程和等式的关系，归纳总结出了方程的意义。此时，在充分理解了方程的本质和外部特征的基础上，再来举例说方程，显然是水到渠成了。