寓意深刻 匠心独运——例析苏教版高中数学教材的编排结构与设计意图

张松年

（江苏省南京市金陵中学，210009）

苏教版高中数学教材具有入口浅、寓意深，整体贯通、互相联系，返璞归真、适度形式化，提供参与空间、促进共同发展等特色。本文试以必修1为例，对苏教版高中数学教材的编排结构与设计意图加以说明。

一、知识呈现与研究方法的同构和螺旋式上升设计

（一）知识呈现

苏教版高中数学教材

以思想方法、背景问题、知识发展为纬线，以模块、章、节、单元为经线，纵横交错、整体贯通（如图1），引导学生获得系统的认识与理解。

比如，必修1以集合与对应为主线，使集合与函数概念紧密联系（如图2），既注重对知识的理解，更注重对一般研究方法与思想方法的掌握——知识是为解决问题而自然建立的，而不是简单、被动地提出的。

章是教材最重要的结构，每一章由章头图、章首语、各节内容、本章回顾等板块构成，同样注重互相联系、整体贯通。章头图给出本章核心概念或原理的直观形象；章首语说明数学的来历，提出本章的核心问题或研究方法；“正文”建立数学理论，给出运用、研究方法；本章回顾是“由厚到薄”的反思过程，对全章作概括、整理、提升——每一个环节“入口”紧密相连，循序渐进，“寓意”不断加深。详细说明如下：

（1）章首语包括两个内容：一是本章的主背景。这个背景以入口较浅的生活实例或学生能理解的其他实例，引发学生思考；

同时，它又是本章核心内容的原型，在一章中将多次按不同层次或方向出现，以统领全章。二是引领本章内容的问题。这是该章的生长点、核心内容或研究方法，它将激发学生探索新知识的欲望。

（2）节及其中的各个“小节”为教学的基本单元，每一节有自己的系统。每一节的开头，在该章的

主背景下给出分支背景，围绕本章的问题提出相应问题——表现为与章首语“同构”的节首语。这些问题就是本节的起点

和核心内容的出发点。每节内容组织的主要形式为：问题情境→学生活动→意义建构→数学理论→数学运用→回顾反思。其中，问题情境（目的是提出问题）包括实例、情景、问题、叙述等；学生活动（目的是体验数学）包括观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、建立模型、提出方法等个体活动，也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动；意义建构（目的是感知数学）包括经历过程、感受意义、形成表象、自我表征等；数学理论（目的是建

构知识）包括概念定义、定理叙述、模型描述、算法程序等；数学运用（目的是将知识转化为能力）包括辨别、解释、解决简单问题、解决复杂问题等；回顾反思（目的是加深理解）包括回顾、总结、联系、整合、拓广、凝缩（由过程到对象）等。

（3）每一“小节”后面的练习是本节课所学内容的重现，学生可以通过模仿解决。

每一节后面的习题、每一章后面的复习题的配置，也分为紧密联系的三个层次：“感受·理解”、“思考·运用”、“探究·拓展”。其中，“感受·理解”比练习要求稍高一些，旨在帮助学生加深对所学知识的理解，并运用所学知识解决一些简单的问题；“思考·运用”是为了让学生借助所学的知识，经过深入的思考，能解决一些较复杂的问题，

并关注研究方法、思想方法的运用；“拓展·提高”所选的问题，则充分关注探究性、创造性、开放性，主要着眼于提高学生的理性思维水平，增强学生学习的自信心，锤炼学生坚强的意志品格。

（二）研究方法

1.章头图、章首语与核心问题。

比如，第1章《集合》的章头图是原野上的一群大象。我们可以把象群看作一个整体，其中的每一头象都是这个整体的一个元素；也可以把整个原野系统看作一个整体，其中的每一个物体（一草、一木、一象、一土）都是这个整体的一个元素。正像章首语中所说的，“同一类对象汇集在一起”就成了集合，关键是以什么标准来“分类”，以确定哪些对象“汇集在一起”。

又如，第2章《函数》的章头图是阳光下的山脉：近处的山坡上有人在滑雪，远处的

山梁波澜起伏，天空中有直升机在翱翔。它寓意着“天地之间万物共同存在，都在发生变化”，需要人们用“相互联系、运动变化”的观点去描述、刻画、研究这样的现象。章首语

则指出了该章的核心问题“用数学模型刻画两个变量之间的关系”。

再如，第3章《指数函数、对数函数和幂函数》的章头图是热带海滨：浩瀚的海面卷起波浪，平静的沙滩上生长着挺拔的棕榈树，瞭望亭

附近有漫步的游客。它预示着大千世界在不断发生着变化，我们需要去研究这些变化。章首语

则指出：“函数是

刻画变量之间关系的数学模型，运用函数能进一步描述和解释我们周围的世界。”

2.载体的选择。

比如，函数概念的引入，选择了3个实例，分别体现了函数的3种表示方法（解析法、列表法、图像法）；函数性质的研究，以初中学习的3类函数（一次函数、二次函数、反比例函数）为载体；函数的应用，又以前面学习的3类函数（指数函数、对数函数、幂函数）为载体。

这种选择研究函数载体的思路，在后续的相关模块中一如既往地体现着，如三角函数的研究以正弦函数、余弦函数、正切函数为载体，数列的研究以等差数列、等比数列、分式数列为载体，等等。

此外，教材中多次出现了在同一背景下提出新问题、生成新知识的设计。例如，第2章《函数》中，由气温曲线分别引出了函数的概念、单调性、最大(小)值；第3章《指数函数、对数函数和幂函数》中，细胞分裂、放射性物质的残留量模型，既是引出指数运算、建立指数函数的范例，又是引出对数概念、建立对数函数的情境。这样的设计，意在培养学生用数学的眼光观察世界，数学地分析、思考问题的品质，体现了数学来源于实际

、又服务于实际的特点。

3.内容和方法。

比如，函数性质的研究，先在利用“对应法则有意义”求出函数定义域的基础上，借助函数的图像，感知函数的值域、奇偶性、单调性；

再从“以一次函数、二次函数、反比例函数为载体，以图像为立足点，研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性”开始，上升到对一般函数的这些性质的代数刻画；

反过来，又利用代数刻画研究一次函数、二次函数、反比例函数的性质。在学习指数函数、对数函数、幂函数时，

又“同构”了这样的研究方法，利用数形结合思想,对这3类函数的性质进行研究

，进一步加深了对函数性质及其研究方式的理解。

在此基础上，利用函数的性质研究函数与方程的问题。

其实，在后续的研究中，这种“同构”与加深的模式继续呈现。比如，三角函数性质的研究，就是通过对三角函数线或三角函数图像的观察得出的，同时又发现了三角函数的周期性，内容更丰富，研究方式更灵活。数形结合——

以形助数、以数说形，隐含了“当函数f(x)分别满足下列条件：f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，f(a－x)＝f(a＋x)，f(a－x)＝－f(a＋x)，f(a＋x)＝f(x)时的图像特征”。至于利用函数的性质研究数列、不等式的性质，就是函数性质的应用了。而函数性质的全面、深刻、微观的刻画，则要留待利用函数的导数来解决。

因此，研究的内容越来越丰富，刻画的性质越来越精细。

4.本章小结。

每一章的“本章小结”对本章的主要内容、知识方法和运用知识解决解决问题的流程做了总的概括，并给出了知识结构框图，更直观地体现了“同构”与加深的思想。例如，第3章的知识结构框图如图3所示。

二、以集合论为基础的函数主线设计

（一）背景分析

函数是高中数学的核心内容，是数学的重要基础，也是其他学科研究问题和解决问题的工具。函数关系像一座桥梁把两个变量联系起来，蕴涵着极其丰富的辩证思想。

必修1是在集合论的基础上，让学生学习函数的概念和图像、函数的表示方法、函数的简单性质，体会函数、方程之间的密切关系，为进一步学习数列、不等式、向量、导数、曲线与方程等知识做好准备。

数学学习是“线性序”活动，但数学本身不是“线性的”，即人们可以从一个知识出发，推出后面的知识；而这个后面的知识，也可以从另一个知识出发，按照一定的顺序推出来。也就是说，人们可以从不同的角度出发，从局部到整体，再从整体到局部，把所学的知识有机地联系起来。函数思想就是高中数学的一条主线，链接起了高中数学的许多内容。

（二）理解集合的概念

第1章《集合》的设计思想是：从具体实例入手，引出集合的描述性定义，并通过实例进一步引导学生分析和理解集合的特征，尤其是集合的确定性，并从不同的角度分析集合的表示法。

集合是数学（集合论）中原始的、不定义的概念，学生在义务教育阶段就已接触了集合，如自然数集、有理数集、实数集等等，只是

当时没有明确提出集合的概念。因此，教学中，应结合学生已学过的数学知识以及生活中的实例，帮助学生深刻地感受集合的意义，以及集合语言在描述客观世界中具有某种特性的对象时的价值。同时，要根据具体问题，恰当地选择自然语言、

符号语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）来表示相应的数学内容，这不仅是学习集合语言的需要，更是培养学生数学语言转换能力的需要。

（三）理解集合中的关系与运算

集合中的关系，包括元素与集合的属于关系、集合之间的包含(子集)关系、集合之间的互为补集关系。这3种关系，分别反映了个体与整体、局部与整体、非此即彼的对立的关系。

集合中的运算，是“按照某种确定的规则，由若干个集合得到一个新集合的过程”，包括“补”、“交”、“并”3种运算。把补集、交集、并集看作集合运算的结果，使学生对数学运算的含义有了新的认识。这一新的运算对象和规则拓宽了学生的视野，为以后学习新的数学运算作了铺垫。另外，在习题中，通过阅读题给出了两个集合的差的运算，这是补集概念和集合运算的延续，是对补集概念的再认识，旨在让学生进一步体会集合运算的含义。

（四）注重函数概念的建构过程

学生在学习函数以及后续的相关内容中，会遇到很多困难，这与教师在函数概念的教学中所采用的教学方式有着密切关系。函数概念的引入应注意“入口浅”，即创设符合学生实际的数学情境，从学生实际出发提供教学素材。教材分别用解析法、列表法和图像法给出了3个具体的实例，意在呼应下一“小节”的3种表示法，寓意深刻。教学时，可以结合所教班级的实际再补充一些实例，如到加油站给汽车加油时油量与价格之间的关系、个人所得税与薪金之间的关系等。而且，学生在初中对函数已经有了初步的认识，进入高中后又学习了集合的概念与运算，因此，函数概念的引入，可以从让学生利用集合语言描述函数特征开始，并设计如下问题串：

问题1在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？

问题2在上面的例子中，涉及了哪些集合？其中的表达式、表格和图像的作用是什么？

问题3如何用集合语言阐述几个实例的共同特点？你的结论是否正确地概括了所有例子的共同特征？你在初中学习过的函数都有这样的特征吗？你现在的认识与初中的函数概念是否有本质上的差异？

学生通过对这个问题串的回答，进一步体会两个变量之间的依赖关系，学习用集合语言来刻画单值对应，领悟函数就是从一个非空数集到另一个非空数集的单值对应。“箭头图”给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合的方向性，

教学时，

应突出“输入”与“输出”的关系，以发展学生的数感、符号感。可以结合课本中旁注的示意图，帮助学生理解符号f(x)的意义：对应法则f对自变量x作用。对于给定的函数，要求学生能够用自然语言描述其对应法则，如函数f(x)＝2x＋1的对应法则就是“2倍加1”。强调函数符号“y＝f(x)”是“y是x的函数”的数学表示，其含义是“f对x作用得到y”或“x被f作用得到y”。教学中，还应特别指出，f(a)与f(x)既有区别又有联

系：f(a)是f(x)在x＝a的情况下的一个函数值;一般地，f(a)是一个特殊值，而f(x)是一个变量。

（五）关于映射

以前的教材是用映射来定义函数的。事实上，从数学的发展史来看，是先有函数，再通过函数概念的一般化，得到更一般的对应

关系——映射的。因此，映射比函数更抽象。教材就是把映射看成函数概念的推广的，先特殊再一般，既考虑到与初中知识的自然衔接，同时更符合学生的认知规律。

映射的学习要求是：了解映射的概念，会借助图形理解映射的概念，并了解函数是两个非空数集之间的映射。教学时，应从学生熟悉的对应

关系入手，选择一些生活、数学中的“一对多”、“多对多”、“多对一”、“一对一”的实例，结合图示，引导学生观察、比较，逐步归纳、概括出映射的基本特征，并辨析映射和函数的关系。

需要提醒的是，教材中没有象和原象的概念，更没有映射的分类，教学时无需拓宽和加深。

（六）关于反函数

教材降低了对反函数的要求，只要求知道指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数；对反函数的一般概念、判断一个函数是否存在反函数以及求一个函数的反函数等，均不作要求。教学时，可以让学生结合图像体会反函数，而不必作过多的研究；对有兴趣的学生，可以指导其阅读教材中链接的内容，结合对数函数产生的背景，体会求一个函数的反函数的步骤。

（七）关于幂函数

幂函数是学生既熟悉又陌生的一类函数模型，

它的解析式虽然简单，但它的性质却比较复杂。教材对幂函数的要求不高，只要求会画几个特殊的幂函数（y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x12）的图像，并能通过图像了解它们的主要性质。由于学生已经有了学习指数函数、对数函数的经历，给出幂函数的概念后，可以让学生先独立画出这5个特殊的幂函数的图像，再根据图像合作探究幂函数的性质。

至于指数的变化对幂函数图像和性质的影响，有条件的学校，可以利用Excel、几何画板等工具进行动态演示，让学生有感性的认识即可。

（八）函数的应用设计

1.应用的层次性。

由于数学学科具有逻辑严密的特点，前面知识的学习为

后面知识的学习做准备，因此，作为数学知识中基础性、工具性的函数知识，经常在后续的其他数学内容的学习中体现出来（应用到现实生活和其他学科中也是必然的结果）。高中学生学习的知识毕竟有限，这就决定了他们运用数学知识解决现实问题有一定的局限性，大多只能解决“准现实问题”或经过人为加工的“半数学化问题”。教学中，我们应该从函数的应用开始，培养学生的数学应用意识和发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学语言的习惯，进一步提高自然语言和数学语言（符号语言、图形语言）的转化能力。

2.应用与基础知识的关系。

掌握基础知识是高中数学教学的首要目标，而应用是以掌握基础知识为前提的。应用不仅仅是目的，更重要的是过程，因此，我们不仅要使学生树立起函数的应用意识，认识到函数的应用价值，具备应用函数解决实际问题的规律性认识和操作性能力，而且还要切切实实地让学生在应用中掌握函数的基础知识和思想方法，学会使用数学语言，并受到数学文化的熏陶，逐步养成数学地观察世界、分析问题的习惯。没有扎实的基础知识，就谈不上应用。

3.应用与活动。

数学不同于其他自然科学，它具有逐级抽象的特点。函数也不例外：从客观实际、现实世界中发现函数，是低级抽象；脱离具体事物的数量关系研究函数，是高级抽象。高级抽象是在低级抽象基础上的进一步抽象，它的研究对象是一种形式化的思想材料，是经过加工了的思想材料，是人对自然界的概括和认识。函数的逐级抽象性特点，说明了学生学习过程中思维发展的不同阶段和水平，因而函数的学习活动也是分层次的。一般来说，函数的应用可以分为四个层次：（1）组织数学材料。即通过学生自己的猜测、探索，从现实情境中发现问题、提炼规律，

从整体上加以理解。（2）一般化。即用数学语言模式化地去描绘、刻画经验材料，通过对脱离具体事物的数量关系的数学研究，构筑抽象理论意义上的函数思想，是学生进一步概括数学材料并提炼数学本质的过程。（3）函数验证。即将一般化

的结果以演绎推理的形式系统化、逻辑化。（4）回归反省。即将抽象出来的结果应用于实际，以指导现实生活。

学生亲自感受和经历“发现”函数的过程，也就是数学“再创造”的过程。唯有以“再创造”的方式进行学习，厘清函数知识发生、发展的过程，才能向高一阶段迈进。

总之，通过本模块的学习，逐步培养学生用数学的观点和思维准确、清晰、有条理地表述问题、解决问题的习惯，感受数学的形式化、符号化特征，提高数学表达和交流的能力，体会数学与现实世界有着重要的联系，明白数学是一个需要暂时脱离物质运动形式进行研究的具有高度抽象性的学科，逐步形成辩证的思维品质。