关于高中立体几何公理化问题的思考——基于与《几何原本》的比较

徐兴国

（扬州市职业大学师范学院，225600）

《几何原本》是数学史上最为璀璨耀眼的明珠之一，其公理化思想和严密的逻辑推理在2000多年的历史长河中魅力不减。作为对比，我们讨论关于高中立体几何内容公理化体系的几个问题。

笔者参阅了新中国成立后各个时期、多个版本的高中数学教材中的立体几何内容，其中有1957年人教版的《立体几何》分册，1981年人教版的《立体几何（全一册）》分册，以及现行人教版、北师大版、苏教版、沪教版的立体几何部分，发现尽管教学的内容作了取舍，次序作了调整，但一个基本的、共同的特点没有任何变化，这就是所有立体几何内容始终全部是由以下4个公理演绎推理出来的，也就是整个立体几何体系始终全部是建立在以下4个公理的基础上的，而且这4个公理的表述方式也始终全部一样：

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。

公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行。

第1个问题：教材中的公理4可不可以作为定理？

首先，由公理2可以得到以下定理：

定理1若三个平面两两相交，且有三条交线，则这三条交线要么交于一点，要么互相平行。

其符号表述如下：

已知：平面α、β、γ，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，l1、l2、l3两两不重合。求证：l1、l2、l3交于一点或互相平行。

其证明过程如下：

由l1、l2共面，则l1、l2相交或平行。若l1∩l2=O，如图1，因为O∈l1,l1?α，O∈l2,l2?γ,所以O∈α∩γ，又因为α∩γ=l3，所以O∈l3，即l1、l2、l3交于一点。

若l1∥l2，如图2，假设l2与l3相交，由上面证明的结论，可得l1、l2、l3交于一点，这与l1∥l2矛盾，故l2与l3不相交，又由l2、l3共面，故l2∥l3。同理，l1∥l3。

其次，我们尝试由定理1推出公理4。

公理4的符号表述如下：

已知：l1∥l2，l1∥l3，l2，l3不重合。求证：l2∥l3。

其证明过程如下：

若l1、l2、l3共面，如图3，作直线l4分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C，因为l1∥l2，所以∠1=∠2，同理，可得∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以l2∥l3。

若l1、l2、l3不共面，如图4，由l1∥l2，设l1、l2确定的平面为α；由l1∥l3，设l1、l3确定的平面为β，则α∩β=l1。若l2与l3异面，在l2上取一点A，设点A与直线l3确定的平面为γ′，则β∩γ′=l3，设α∩γ′=l2′，则点A也在l2′上，故l2∩l2′=A①；由l1∥l3及定理1，可得l1∥l′2，又因为l1、l2、l′2共面，l1∥l2，所以l2∥l′2②；①与②矛盾，于是l2与l3共面，设为γ，则β∩γ=l3，α∩γ=l2。由l1∥l3（或l1∥l2）及定理1，得l2∥l3。

这说明公理4不是一个公理，而是一个定理。

第2个问题：为什么教材中的公理可以作为定理？

讨论这个问题要从两个方面谈起：一是《几何原本》的公理化体系；二是高中数学教材立体几何内容的公理化体系。把它们作一个对比，就能够发现其中的缘由。

前面，我们介绍了高中数学教材立体几何内容中的4个公理。接着，我们再看看《几何原本》中的公理。《几何原本》共13卷，第1卷到第10卷记载的是关于平面几何的问题，第11卷到第13卷记载的是关于立体几何的问题。《几何原本》第1卷列有5个公理、5个公设（现在我们已经不区分公理、公设，都称之为公理），作为全书的基础，具体内容如下（为了不产生混淆，这里将这些公理、公设称为“原本公理”、“原本公设”）：

“原本公理”1等于同量的量彼此相等。

“原本公理”2等量加等量，其和相等。

“原本公理”3等量减等量，其差相等。

“原本公理”4彼此能重合的物体是全等的。

“原本公理”5整体大于部分。

“原本公设”1过两点能作且只能作一条直线。

“原本公设”2线段(有限直线)可以无限地延长。

“原本公设”3以任一点为圆心，任意长为半径,可作一个圆。

“原本公设”4凡是直角都相等。

“原本公设”5同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在这一条直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。

让人吃惊的是，高中数学教材立体几何内容中的4个公理，在《几何原本》中一个都没有。这是否意味着，教材中的4个公理都是可以被证明的，都是定理而不是公理？实际上，教材中的公理2在《几何原本》中是作为一个定义出现的，而教材中的其余3个公理都是可以被证明的。这里，仅再给出公理3的证明（公理1的证明留给有兴趣的读者）：

存在性：因为三角形是一个平面图形，所以存在一个平面经过不在同一条直线上的三点。

唯一性：由公理2“两个（不同的）平面如果有公共点（相交），则公共点的集合是一条直线”，可知两个（不同的）平面不可能都经过不在同一条直线上的三点。

数学家们甚至已经证明，在《几何原本》中的5个公设的基础上，可以演绎推理出整个欧氏几何体系。

再从学生从小学到高中所学的几何内容来看，高中立体几何内容是建立在小学、初中几何内容的基础上的，是小学、初中几何内容的延续。小学数学中，我们已经论证了三角形的内角和是180°，它是和《几何原本》中的第五公设（也叫平行公设）等价的一个命题，也是和高中数学教材立体几何内容中的公理4等价的一个命题，还是和“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”等价的一个命题——上述公理4的证明如果用到这个等价命题和同一法，则可以避免运用异面性质和反证法的繁琐。也就是说，从小学起，我们就承认了第五公设，这就决定了在小学、初中和高中学习的几何内容都属于欧氏几何学。既然我们已经先后学习了《几何原本》中的5个公设（有些公设转换了表达方式），高中数学教材立体几何内容中的所谓“公理”就可以被证明了，也就可以作为定理或推论了。

第3个问题：能不能给教材中的公理“瘦瘦身”呢？

读到这里，不难发现，在小学、初中内容的基础上，高中教材只要介绍公理2，其他的3个公理就都可以被证明出来（变成定理）了，整个高中立体几何的知识体系也就可以被构建出来了。

笔者认为，对于学生素质较好的学校，在教学中可以进行尝试。比如，不妨试试将公理3、公理4作为定理出现，如上所述，其证明思路还是比较简明、优美的，还可以训练学生对反证法、同一法等重要思想方法的理解和运用。

第4个问题：为什么教材中的公理又要以公理的形式出现？

教材的编写者主要是数学家、数学教育家和一线数学教师，他们在编写教材时，必然会参考《几何原本》的体系和思想，同时会借鉴国内外经典的教材（如早期借用苏联的教材，后来参考欧美的教材），而且会结合教学实践不断改进。所以，教材的编写自然有它的道理。

具体来讲，学生在初中时主要学习平面几何的知识，进入高中之后初次接触立体几何的知识，起点低、基础薄，这时急需用一些公理来作为基础性的支撑，找几个“顶梁柱”来架构整个知识体系——这几个“顶梁柱”一方面要能够衔接初中知识和高中知识，另一方面要能够起到基础性的作用。在初中学习平面几何内容时，平面往往是默认的，学生在给定的平面上讨论点、线等要素之间的关系。在高中学习立体几何内容时，研究的对象是三维空间，这时最迫切要解决的是给出空间中最基本的元素，也就是点、线、面，所以，首先要树立平面的概念。我们的教材则急学生所急、想学生所想，开门见山地给出平面的定义，将关于点、线、面之间关系的一些基本命题作为公理，从而搭建了整个高中立体几何的知识体系。这些公理的作用和意义是显而易见的：

公理1衔接了初中知识“经过两点有且仅有一条直线”，同时，提供了判定直线在平面内的依据和判定点在平面内的方法。

公理2树立了空间观念，同时，提供了判定两个平面相交的依据和判定若干点在两个相交平面的交线上（即点共线问题）的方法。

公理3提供了确定一个平面的依据和判定若干点共面的方法，并且，可以延伸出3个重要的确定平面的推论。

公理4告诉我们，平面几何中的部分性质在立体几何中也是成立的（当然，并不是全都成立的），并且，可以推广出立体几何中的等角定理：如果一个角的两条边和另一个角的两条边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

品味教材中的4个公理，可以发现，它们基础本源、简明直观、容易理解，利于初学者快速上手、逐步深入，在以这4个公理为基础搭建的高中立体几何“大厦”中，感受推理的严谨、体验思维的美丽。很难想象，一个立体几何的初学者，在没有这些公理帮助的情况下，去演绎推理立体几何的结论。

张景中院士在《从数学教育到教育数学》一书中写到：“我们的数学教育不同于数学研究，数学教育是与教育共生的，兼具数学与教育的特点。”教材的编写也正是基于这样的认识：数学教育不同于数学研究，要充分考虑到学生的已有经验和认知规律以及知识的认知和运用价值。例如，笔者翻看《几何原本》时还发现：“全等三角形”内容出现在“解三角形”内容之后。这就意味着，学习了余弦定理和正弦定理之后，就可以根据已知的边角关系求出其余的边角，在此基础上，就可以给出三角形全等判定定理的证明。而初中教材中，三角形全等的判定定理实际上都是按照公理的方式给出的，这是因为学生还没有学习余弦定理、正弦定理和“解三角形”知识。

《几何原本》诞生2000多年以来，哥白尼、伽利略、笛卡儿、牛顿、伽罗瓦等许多伟大的哲学家、数学家、科学家，都深入学习过它。随着时代的发展，为了更好地满足数学教育教学的需要、数学符号规范化和国际化的需要，数学家和教育家们相继编写了很多崭新、优秀的几何教材。虽然现在的几何教材在内容体系、语言表达等方面作了很多调整，但是《几何原本》的精华——公理化思想和严密的逻辑推理——被保留和传承了下来。因此，在几何教学中，我们有必要经常“光顾”《几何原本》，看看经典的原样，感受知识的起源和发展，加深对知识的理解。