指数加权滑动平均控制图与自回归模型的实例应用

摘要：统计过程中的控制图如今已经成为质量管理中一种不可缺少的工具，已经成为一种控制的潮流和方法，它的中心思想就是预防为主，第一次就把事情做对，消除一些变异的因素和区分两种不同性质的波动。经过对大量文献的认真研究和学习，关于统计过程中的控制图，所提出的是假定过程均值不变等条件下，通过轴承的半径分析，用指数加权平均的控制方法来处理相关问题。目前为止还没有将其与常规控制图整合在一起，因此通过其与回归模型的方法相建立，来解决实际中的问题。

　　关键词：指数加权滑动平均（EWMA）；控制图；自回归模型

　　中图分类号：F0文献标志码：A文章编号：1673-291X（2014）16-0010-03

　　1924年，休哈特在美国贝尔实验室第一次发明质量控制图的概念，经过数年的发展已经逐渐成为质量工作管理中不可缺少的工具之一，过程控制是为了贯彻预防为主，在统计过程控制中，利用休哈特常规控制图时，我们总是假定过程均值不变，同时随机误差独立同分布，服从均值为0、方差为σ2的正态分布。但在实际应用中，这些前提假设是很难实现的，无法获得相应的数据，许多过程中都存在自相关的现象，独立性也很难成立。这就使得常规控制图方法难以继续使用。这时可以用指数加权滑动平均（EWMA）控制图方法处理相关的问题。可以用时间序列对于自相关过程的观测值进行适当的拟合，得出模型，再用其预测值、残差来构造控制图。本文通过具体数据分别做指数加权滑动平均、自回归模型拟合及常规控制图，通过实际得到的图形简单地做了比较。

　　一、指数加权滑动平均（EWMA）控制图

　　EWMA控制图上的点包含了所有前面子组的信息，它能探测过程的微小漂移。EWMA控制图同样适用于单个观测值的情况。由前所诉，EWMA控制图不受过程均值不变，同时随机误差独立同分布，服从均值为0、方差为σ2的正态分布等条件限制，常用于处理序列数据。在EWMA控制图中绘制的统计量为当前值与历史数据的加权平均，即

　　Zt=λxt+（1-λ）Zt-1

　　对于比较大的t，当{xt}独立同分布，服从均值为μ、方差为σ2的正态分布时，样本统计Zt量近似服从正态分布，且

　　E（Zt）=μ，Var（Zt）=σ2

　　[1-（1-λ）2t]

　　随着t的增大，[1-（1-λ）2t]趋近于1。

　　绘制EWMA控制图时，要求给定权重λ。（1-λ）表示EWMA对历史测量值的权重，若（1-λ）越大（λ越小）表示历史对于现在的影响越重。权重λ决定了EWMA对于当前数据突然发生变化的能力，具有时效性。λ越小，时效性不强，则Zt的时间序列图更加平稳。EWMA控制图的优点就是，当较小值或较大值进入计算时不会严重影响到这些控制图。对于权重λ的选取，Montgomery（1991）推荐使用0.05<<λ<<0.25。一般λ常取0.08，0.10，0.15，更要根据实际情况而定。

　　下面给出具体例子。数据来源（见参考文献[1]中例3.6.4）。此例是单个观测值的情况，给出了不同时间测得的50个凸轮轴的轴承直径。给定权重λ值为0.2，用指数加权滑动平均的公式，具体得到Zt的值（初始值Z0=x0）。

　　Zt=0.2xt+（1-0.2）Zt-1

　　将目标值50作为μ的估计（此处是以起点时间初始值50作为μ的估计），对上述数据做EWMA控制图（如下页图1所示）。

　　从该图可以看到控制限在第11个样本开始稳定。从EWMA控制图上可看出，样本点对目标值50的漂移。

　　二、自回归模型（autoregressionmodel，AR）

　　自回归（AR（n））模型是时间序列ARMA中的一种特例，即ARMA（n，0）只有自回归部分，没有移动平均部分。其实ARMA模型才是更一般的平稳的时间序列模型，只是由于文中例子的数据模拟后得到模型，便以此说明比较。对于后面所说得到AR（n）模型，求出预测值和残差均是基于AR（n）模型。对于一般的ARMA模型，同理亦可操作。

　　对于时间序列AR（n）模型具有如下一般结构：

　　xt=?0+?1xt-1+?2xt-2+…+?nxt-n+εt

　　E（εt）=0，Var（εt）=σ2

　　ε，E（εtεs）=0，s≠t

　　E（εtxs）=0，?s对于本文数据，作出轴承直径数据的自相关图与偏自相关图分别（见下页图2、图3）。

　　可以看出大致的自相关图是拖尾的，偏自相关图时1阶截尾的，由ARMA模型的判别条件符合模型AR（1）。拟合AR（1）模型：

　　xt=?0+?1xt-1+εt

　　通过显著性检验，延迟各阶的LB统计量的P值均显著大于0.05，残差通过白噪声检验，所以该拟合模型显著成立。得到AR（1）模型为：

　　（xt-48.55）=0.74（xt-1-48.55）+εt

　　xt=12.62+0.74xt-1+εt

　　以此模型做预测值，用测量值减去预测值得到残差r。下图给出观测值（●）、预测值（*）、95%上下限（——）：

　　三、基于AR模型所得残差做指数加权滑动平均（EWMA）控制图

　　由于时间序列的预测值和观测值之间的残差可以极大地弱化过程的自相关性，并可以近似认为各个时刻的残差都是相互独立的，因此可以采用一般的各种控制图方法进行监控。在此，用上述所得的残差做EWMA控制图（见图5），（取目标值为1.444是对应于初始值50的残差值）

　　四、轴承直径的EWMA控制图对比其残差的EWMA控制图

　　对比轴承直径的EWMA控制图（见上页图1）和残差EWMA控制图（见图4），两图的曲线波动轮廓一致，但是轴承直径的EWMA控制图漂移幅度幅度远大于残差EWMA控制图。残差的EWMA控制图对于目标值的漂移超出控制限的值的个数少于轴承直径的EWMA控制图。可见轴承直径的EWMA控制图要比残差EWMA控制图更灵敏。但是轴承直径在本例中是自相关的，而残差是独立的。对于存在自相关，超出控制限的值对于其附近时间点值的的影响较大，所以连带一片的值都会超出控制限。

　　五、总结

　　EWMA控制图，不受正态假定的限定，图上的每个点包含着前面所有子组的信息，具有检出过程目标值小漂移的敏感性。对于时间序列来说，除了EWMA控制图，本文还用的拟合出时间序列模型，求出预测值、残差，再用残差作EWMA控制图。

　　参考文献：

　　[1]周纪芗，茆诗松.质量管理统计方法(第2版)[M].北京：中国统计出版社，2008.

　　[2]王燕.应用时间序列分析(第3版)[M].北京：中国人民大学出版社，2012.

　　[3]王海宇，等.平稳自相关过程的EWMA控制图[J].工业工程，2006，(3).

　　[4]崔敬巍，谢里阳.自相关过程的统计控制方法研究[J].机械制造，2006，(9).