好玩的数学：太简单！不太简单？《画正方形》教学探索

吴振亚

（江苏省太仓市实验小学，215400）

2002年8月，陈省身先生为以“走进美妙的数学花园”为主题的中国青少年数学论坛题词：数学好玩。这一谆谆教诲，凝聚着一代数学大师学习数学、研究数学的切身体会，也揭示了数学潜在的一种特质；同时，也启示我们，把数学好玩的一面呈现出来，让儿童着迷，数学教育才可谓是成功的。但不可否认的是，现实中多数的课堂里呈现的数学还是不好玩的。《人民教育》2009年第6期刊发了《小学数学教师的几大困惑》一文，其中排在第一的“困惑”就是“‘数学好玩’与‘走进美妙的数学花园’为何远离课堂”。

下面就让我们一起欣赏一节教材中没有，但学生都觉得好玩的课。这节课的核心词就是“玩”!教师没有按部就班地以“例题—练习”的形式“走下去”，而是一直在寻找合适的话题，并以一种玩的心态让学生玩出思考、玩出收获、玩出学习的乐趣。这节课具有一定的探索意义，可以让我们对“数学好玩”的课堂有更多的领悟。

一、教学实录

（一）探索之初：太简单

师（板书课题：画正方形）看了这个课题，你想说什么？

生太简单了。

生有点幼稚。

生我们很早就会了。

……

师数学就是很简单的东西。

师（课件出示图1）假设将其中的一个格子——如涂色部分，看作面积是1的正方形。那么，在方格纸上，你能画出面积是多大的正方形呢？

生

（教师课件演示：用“拖拉”的方式从小到大依次显示这些正方形。）

师画这类面积正好是平方数的正方形，一点也难不倒大家。

（二）探索之中：好像不太简单

1.探索“画面积是2的正方形”。

师谁能画出面积是2的正方形？

生比1格多一点。

师（课件出示图2）是这样大的吗？

生好像是。

生不太确切。

生如果用整数表示，它应该大于1、小于4，可能是2，也可能是3，无法确定。

师面积是2，边长到底是多少呢？用计算器算一算。

（学生用计算器试算，然后交流。）

生因为1.4×1.4=1.96，1.5×1.5=2.25，所以边长应该比1.4多一点点。

师这个边长的取值和π一样，是个无限不循环小数。面积是2的正方形似乎就在面前，但似乎又永远不精确。

师（课件出示图3）我们换个思路，看过这样的图形吧？如果告诉你大正方形的面积是4，那么，你能想到什么？

生涂色正方形面积是大正方形面积的一半，等于2。

生我知道怎样画面积是2的正方形了。先画面积是4的正方形，然后画面积是2的正方形。

师当不能通过边长来确定的时候，我们还可以用转化的方法来找到答案。

2.探索“画面积是平方数除以2的正方形”。

师（课件出示图4）你能算出涂色正方形的面积吗？

生

师（课件出示图5）它的面积呢？

生是

师想象一下，像这样继续变大，面积会有多大？

生

师面积有多大，能用一句话来说吗？

生平方数除以2。

师同桌之间互相说一说，这类正方形有什么特点？怎样画？

（学生同桌之间交流。）

3.探索“画更一般的正方形”。

师由特殊到一般，还可以怎么画正方形？（课件出示图6）它的面积是多少呢？

生面积是3×3=9。

生不对，它的边长不是3，因为在这个直角三角形中，这条斜边肯定比3多一些，所以它的面积比9大，不等于9。

师是啊，想用边长乘边长的方法，这时是不行的了。怎么办呢？

生转化！

生（在图中示意，如图7）我把它转化成4个一样大的三角形加上中间的1个正方形。所以，面积是3×1÷2×4＋2×2=10。

生我转化成外面的1个正方形减去外面的4个一样大的三角形。所以，算式是4×4-3×1÷2×4=10。

（教师引导学生回顾刚才的两种算法，并板书：4＋6=10，16-6=10。）

师（课件出示图8）你能在这个正方形中画正方形吗？

（思考片刻后，少数学生举手。）

师老师教你一招，让大家人人都会画。想一想：5可以分成几和几？

生“1和4”或者“2和3”。

生（在图中示意，如图9、10）我知道了，可以这样画。

师这两个正方形的面积一样大吗？比比谁算得快，谁的方法多！

生9＋8=17或25-8=17。

生1＋12=13或25-12=13。

师掌握转化的技巧，算得就是快！还可以怎样算呢？（板书：1＋4）比如，5分成1和4的情况，（完善板书：12＋42）因为算的是面积，所以再加平方，算算看？

生1+16=17。

师5分成2和3的情况呢？

生

师是不是更方便了？怎么就这么巧呢？我们回过去看看其他几个正方形，也能用这种方法算吗？

（教师组织学生回顾并验证。）

（三）探索：无止境

师（课件出示图11）并不是老师聪明，而是我们的祖先很早就发现了这个秘密。

（学生看图、阅读文字，思考、感悟。）

师（课件出示图12）根据其中的奥秘，后人还画出了一种树，叫“勾股树”，感兴趣的同学可以课后继续研究。

（学生意犹未尽地思考、探索着其中的规律。）

二、教学思考

数学就其客观意义而言，本身无“好玩”之说，要被学习者建立起“好玩”的主观感受，那便需要按照人的心理喜好进行改造。

（一）素材很简单，但内容很丰富，所以兴趣盎然

鲜艳的小碎纸、几块镜子，就这些平常不过的东西，一旦制作成了叫“万花筒”的玩具，便百看不厌；而且一旦某个图案消失了，要转动几个世纪，才会出现同样的组合，每一个瞬间都值得欣赏和珍惜。以上课例中，数的分成、正方形的特征、面积、图形的变换等平常的数学知识，借助正方形这一载体，便触及无理数、勾股定理，既平和直观，又有趣生动。玩具万花筒揭示了“极平常处同样有风景”的道理，以上课例也正是这样。

“画正方形”？学生刚看到这个学习内容时，觉得“简单幼稚”，但一琢磨、一深入，就不简单了。面积是2的正方形，似乎就在眼前，但似乎又不在眼前……就这样，学生踏上了以正方形为载体的思维之旅。简单，让起始的学习顺畅自然；随着学习的推进，一点点的不简单，又避免了“也就这样”的乏味感。

好的素材，是开创性的、有发展的，是让学生感受到“数学好玩”的基础。最终证明费马大定理的数学家安德鲁·霍尔斯，10岁时已经着迷于数学。他回忆说：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，编写成自己的新题目，不过我以前找到的最好的题目是在我们的地区图书馆里发现的。”霍尔斯这样描述看到“费马的最后命题”时的感受：“看上去如此简单，但历史上所有大数学家都未能解决它，这里正摆着一个我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永远不会放弃它，我必须解决它。”无独有偶，《大自然的分形几何学》的作者罗德尔布罗特，在书的引言中写道，“自然界的许多图形（比如云彩、海岸等），是如此的不规则和支离破碎”，“这些图形的存在，激励着我们去探索那些被欧几里得搁置在一边，被认为是‘无形态可言’的形状”，“作为对这个挑战的回答，我构思并发展了大自然的一种新的几何学”。看，这就是好素材的力量！

（二）过程有点难，但思维被“吊”着，所以欲罢不能

总有教师简单地认为，要使数学内容好玩，在数学学习的过程中，需要引入趣味故事、生活游戏。其实，这些内容没有触及数学的核心内涵，或许能吸引学生，但绝对征服不了学生。数学中还真有一些经典的思维游戏，比如七巧板、九连环、华容道、幻方等。考证下来，促使它们成为好玩的游戏的原因，首先是素材常见、规则简单，能让游戏者容易“入戏”、玩起来；其次是是玩法变化多样，每次都不一样，具有与游戏者游戏能力不断匹配的小难度，保持吸引力。实际上，大凡好玩的游戏，都具有这两个特点。

数学能让一部分人终生追随，不是因为简单，恰恰是因为有点难。这就如同数学的发展，一个原因是解决实际问题的需要，而另一个动力就是进行纯粹思考的乐趣。陈省身先生在天津扶轮中学求学时，乐此不疲地寻找弦切角定理的多种证明方法，写就《一个几何定理的十六个证明》一文，刊登于校刊《扶轮》上，享受的便是思考的快乐。当然，我们如果能看得更深远些，便可以发现，无论多么简单的数学概念，都是人类思维抽象的结晶，思考是数学学习不可或缺的方式。儿童们“玩”数学，不可或缺的“玩”法也便是思考！

不少人不爱数学，因为觉得数学难，实际上这只是问题的表面；而问题的本质在于，对他们来说，数学难得不合适。如果要解决的问题，就像跳一跳能摘到的果子，那么他们就不会计较跳一跳的努力，反而会因跳一跳而更难于忘怀那果子的鲜美。数学教学中的“情感态度”目标，最根本的体现应该是：经历“辗转反侧、冥思苦想—石破天惊、豁然开朗”的过程，享受思考的快乐！这样的过程，犹如陶渊明先生的游记所描述的：“山有小口，仿佛若有光。便舍船，从口入。初极狭，才通人。复行数十步，豁然开朗。”从“画正方形”到“画面积为2的正方形”，又从“还能怎么画”引出“弦图”，体会“出入相补”，最后欣赏“勾股树”，探索无穷的奥秘——循着已有的知识和经验想下去，就总有收获。因此，学生就对每次思考都翘首以待！不断克服“小难”，有了大量思考成功的情感积累，那么，即便遇到了“大难”，学生也绝不会感到数学不好玩，反而会勾起斗志。而越是“大难”，克服后获得的情感体验就越深刻、越震撼。如此循环，数学怎会不好玩呢！