探究：以思维发展为核心——《中位线》第2课时教学谈

王红霞

（江苏省南京市溧水区第一初级中学，211200）

常规的教学，往往是教师从预设的教学目标出发设计教学活动，学生在固定的程序中被动参与教学活动。如何才能让学生积极主动地参与课堂活动，提高学生的学习自主性呢？笔者在《中位线》第2课时的教学中进行了一些尝试，获得了许多有益的启示。

一、教学实录

（一）问题导入

（教师出示问题：如图1，在任意四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE。请判断四边形EFGH的形状，并给予证明。）

生四边形EFGH是平行四边形。

师你是如何判断的？

生连接对角线AC、BD；因为E、H分别是AB、DA的中点，所以EH∥BD；因为F、G分别是BC、CD的中点，所以FG∥BD，所以EH∥FG。同理，EF∥HG。根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得到EFGH是平行四边形。

师很好，还有不同的方法吗？

生我也是连接对角线AC、BD。利用三角形中位线定理，得到EF=HG=12AC，EH=FG=12BD；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得到EFGH是平行四边形。

师好的，不错！还有其他方法吗？

生其实，不需要这么麻烦，只要连接一条对角线就可以了。

师哦？说来听听。

生连接对角线BD，利用三角形中位线定理，得到EH∥BD且EH=12BD，同理，FG∥BD且FG=12BD，所以EH∥FG且EH=FG；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到EFGH是平行四边形。

师非常好！

（二）自主探究

师在以上问题的解决中，同学们积极思考，运用不同的方法解决了任意四边形的中点四边形的判断问题。以这个问题为背景，你还能提出什么新的问题吗？

（绝大多数学生茫然，面对教师的眼神时有些躲闪；少数学生蹙着眉，成思考状。等待了一段时间，终于有学生举手。）

生如果把“任意四边形”改成“平行四边形”，此时四边形EFGH是什么形状？

师你是如何想到提出这个问题的呢？

生我注意到题目中特别指出了“任意四边形”，所以就想到假如是特殊四边形呢，很自然就先想到了平行四边形。

（课堂气氛活跃起来。）

生把“任意四边形”改成“矩形”、“菱形”、“正方形”、“梯形”、“直角梯形”、“等腰梯形”，还有“筝形”。

（教师把学生提到的特殊四边形一一板书下来。）

师好，下面我们就来一一探究。

（学生探究，教师同步板书。对于平行四边形、矩形、菱形、正方形的探究，教师鼓励学生画图、猜想、验证；而对于后4种图形的探究，教师要求学生尝试不画图形，进行猜想，而后验证。探究完成后，最终板书如图2。）

师刚刚大家提出了一组很有价值的问题，而且通过自己的探究，也一一解决了问题。在解决的过程中，你获得了哪些解决问题的方法和经验？

生要判断中点四边形的形状，我们可以先通过画图帮助猜想，然后进行验证。

生其实，我觉得这些问题差不多，都是通过连接对角线，将四边形问题转化为三角形问题，利用三角形中位线定理解决的。

生我发现中点四边形的形状取决于原四边形对角线的关系。

师非常好！大家通过对一组图形的探究，找到了它们之间的内在联系和解决问题的一般方法，体会了类比和转化的思想。

（三）思维提升

师你们还能提出其他问题吗？

（课堂又一次陷入沉静。）

师请大家换一个思考方向。刚才我们都是已知原来四边形的形状，来推断中点四边形的形状，那么我们能不能——

生我们可以反过来想。如果知道了中点四边形的形状，能不能判断原四边形的形状？

师比如说呢？

生例如，知道中点四边形是平行四边形，那么原四边形是什么形状？

师很好！有同学能帮忙解决这个问题吗？

生是平行四边形。

生我觉得也可以是一般梯形。

生我认为是任意四边形。

师有3个答案，到底谁的正确呢？

生我赞同第3个答案，因为虽然平行四边形、一般梯形的中点四边形都是平行四边形，但它们都只是其中的一种情况，并不能代表全部情况，而所有一般四边形的中点四边形都是平行四边形。

（在这个问题的启发下，学生很快又相继提出了一系列问题：“若中点四边形是菱形，原四边形满足什么条件？”“若中点四边形是矩形，原四边形满足什么条件？”“若中点四边形是正方形，原四边形满足什么条件？”在最后一个问题的解决过程中，学生又起了争执——）

生（一位数学成绩不错的学生很自信地）我认为若中点四边形是正方形，则原四边形一定是正方形。

（不少学生纷纷附和。）

师确定吗？一定是正方形？

（学生安静了下来，开始在草稿纸上尝试画图。）

生（画出图3示意）不一定是正方形。比如，拉动正方形的一条对角线，使其与另一条对角线不再互相平分，但其中点四边形依然是正方形。通过前面的探究，我们可以发现中点四边形的形状其实取决于原四边形对角线的关系。所以，要使中点四边形是正方形，只要原四边形的对角线互相垂直且相等就可以了。

师大家赞同他的观点吗？

（学生信服地点头。教师完成板书，如图4所示。）

中点四边形的形状原四边形形状平行四边形任意四边形矩形对角线互相垂直菱形对角线相等正方形对角线互相垂直且相等图4

师很有意思，中点四边形的形状取决于原四边形对角线的关系。那么，中点四边形对角线的关系和原四边形对角线的关系之间，有什么联系吗？

生中点四边形一定是平行四边形，也就是对角线互相平分。我觉得，中点四边形对角线相等等价于原四边形对角线互相垂直，中点四边形对角线互相垂直等价于原四边形对角线相等。

师很好！把问题研究得很透彻！也就是说，中点四边形的形状与原四边形对角线的相等与否、互相垂直与否有关，而与原四边形对角线的互相平分与否无关。

（四）波澜再起

（教师正准备结束新课，一位学生犹犹豫豫地举起手。）

生（将信将疑地）老师，我能不能提一个关于周长和面积的问题？

师当然可以，说不定会是一个很有价值的问题呢！说说看。

生我总觉得中点四边形的周长和面积一定与原四边形有关，但具体是什么关系，现在我还没有答案。

（课堂气氛再一次活跃起来。）

生根据前面的探究，我发现中点四边形的边和原四边形的对角线有直接联系。利用中位线定理，可以得到EF=HG=12AC，EH=FG=12BD，所以，中点四边形的周长就等于原四边形对角线长之和，而与原四边形的周长没有关系。

师这位同学的分析过程大家认可吗？有无错误？我非常认同这位同学的想法，他不仅证明出中点四边形的周长等于原四边形对角线长之和，还大胆地判断出中点四边形的周长与原四边形的周长无关。那么，面积上又存在什么关系呢？

（学生继续探索。）

生老师，如果原四边形的对角线互相垂直就好了。

师为什么呢？

生如果AC⊥BD于点O，那么有SABCD=12AC·OB+12AC·OD=12AC(OB +OD)=12AC·BD；而此时EF⊥FG，所以SEFGH=EF·FG=12AC·12BD =14AC·BD。于是，中点四边形的面积就正好是原四边形面积的一半。

生（激动）又没有告诉你原四边形的对角线互相垂直，你不能用特殊情况代表一般情况！

师如果原四边形的对角线互相垂直，这位同学的分析有没有错误？

生（齐）没有！

师如果原四边形的对角线不互相垂直呢？

（短暂的沉默后，有数学成绩比较优秀的学生举手。）

生还是二分之一的关系。

师哦？不会吧？说来听听。

生真的是二分之一的关系！我利用中位线定理得到三角形相似，所以有S△AEH=14S△ABD，S△CFG=14S△CBD，于是S△AEH+S△CFG=14S△ABD+14S△CBD=14SABCD；同理，有S△BEF+ S△DHG=14S△BAC+14S△DAC=14 SABCD，所以外面的4个三角形的面积之和等于原四边形面积的一半，那么中间的中点四边形的面积也等于原四边形面积的一半。

师大家听明白了吗？

生（齐）哦。

……

二、教学反思

《中位线》第2课时的教学内容，是三角形中位线定理的应用。这节课的常规教学设计，是教师利用以下3个问题引领学生的思考：（1）顺次连接任意四边形各边中点，得到什么图形？（2）如果将“任意四边形”改为“矩形”、“菱形”、“正方形”呢？（3）如果顺次连接一个四边形的各边中点得到菱形，那么原来的四边形一定是矩形吗？为什么？这样的设计，教学流程环环相扣、层层推进；但是，对学生而言，是否过于包办？如果教师不设计这些问题，学生自己能不能想到？除了这些问题，学生还会不会想到其他问题？针对这些疑问，笔者作了一些探索。

（一）探究，要关注课堂的动态生成

事实证明，只要教师找准教材的空白处、思考的生长点，恰当地挖掘、组织、呈现学习内容，把思考和探索的空间留给学生，激发其自主探究意识，学生的参与度就会不同寻常，从而学习的效果大大提升。本节课中，教师利用中点四边形问题丰富的知识联系和思考内涵，不拘泥于某一个具体明确的问题，而追问“你还能提出什么新的问题吗”，这就为学生提供了更为广阔的思维空间，学生不仅想到了教师预设的平行四边形、矩形、菱形、正方形，还想到了一般梯形、直角梯形、等腰梯形，甚至想到了筝形。此时，学生的探究欲望得到激活，从而自然、持续、深入地提出了更多的富有层次、梯度的问题，而且在解决问题的过程中也表现出了很大的积极性和主动性。

教学过程中，教师应该认真倾听、特别留意学生的思考与探究，及时捕捉、有效利用生成的教学资源——而不是只顾完成预设的教学内容，一味地“牵着学生走”。本节课中，除了第1个问题是教师提出的，其他所有问题实际上都是学生在互动交流中自己提出的。正是因为教师的耐心等待、和顺引导，才生成了学生不断拓展、延伸的思考和质疑，才生成了学生对中点四边形更深入的探究和挖掘。

（二）探究，重在发展学生的思维能力

数学教学的主要目标是发展学生的数学思维能力。本节课中，教师让学生真正经历、审视自己的思考、探究过程，目的也在于此。

1．发展思维的发散性、灵活性。

研究“顺次连接任意四边形各边中点，得到的中点四边形是什么形状”时，教师用“还有不同的方法吗”来引发学生思考。研究完任意四边形的中点四边形后，教师用“你还能提出什么新的问题吗”、“请大家换一个思考方向”来激发学生思考。这样的问题都促使学生打破思维定势，进行广泛联想、发散思维，从而不仅找到了不同的方法和新的问题，更重要的是学会了思维的策略——解决问题时，首先要抓住与条件、结论相关的定义、定理、公式、法则等进行发散；发现问题时，可以从一般到特殊或从特殊到一般进行思考，可以从一个方面的相似到另一个方面的相似进行思考，也可以变换角度和方向（如逆向）进行思考，等等。这样，也使学生认识到要解决或发现问题，首先要经历一个思维先发散后集中的过程，而透彻掌握基本的思维策略、基础的命题及其相应的变化十分重要。

2．发展思维的逻辑性、深刻性。

学生说出原问题的结论后，教师问：“你是如何判断的？”学生解决一系列特殊化的问题后，教师问：“你获得了哪些解决问题的方法和经验？”这样的问题都启发学生深入理解概念、严密分析问题，去粗取精、去伪存真，由此及彼、由表及里，抓住事物的本质与内在联系，认识事物的规律性——从而使得学生认识到，判断中点四边形形状的基本方法是“连接对角线，将四边形问题转化为三角形问题，利用三角形中位线定理”，“中点四边形的形状取决于原四边形对角线的关系”。另外，学生解决一系列逆向的问题以及由形状到周长、面积的类比中发现的问题时，教师都引导学生进行推理说明和比较概括。

3．发展思维的辩证性、批判性。

学生解决一系列逆向的问题时，出现了不同答案和争执。对此，教师没有作简单的肯定或否定判断，而是追问：“到底谁的正确呢？”“确定吗？一定是正方形？”从而引发学生更深的思考，让学生自己对错解进行辨识，剖析错误产生的原因，进而认识到不能以偏概全，以充分条件代替充要条件，体会到解题的乐趣在于“在条件的约束下把结果的范围（可能性）最大化”。这样，有效地提高了学生独立思考、敢于怀疑、全面分析、深度评判、发现不足、调整校正的习惯和能力。

4．发展思维的独特性、创造性。

一般认为，文科，如语文的学习是具有独特性、创造性的：每个人都有自己的真理，主观的感受、判断十分重要。但实际上，理科，如数学的学习也是如此：在掌握了基础内容之后，重要的不再是别人要你做什么、教你怎么做，而是自己选择做什么、判断怎么做。因此，数学教学不能忽视培养学生思维的独特性、创造性。这也是探究式学习的主要价值所在：面对相对开放、真实的情境，在没有现成、标准答案帮助和束缚的情形下，让学生自己发现和提出问题、分析和解决问题、作出选择和判断。