由“形式”走向“本质”——从一道“认识方向”习题说起

戴香华1，王俊亮2

（1.江苏省南京市金陵中学实验小学，210019；2.江苏省扬州市江都区实验小学，225200）

苏教版小学数学二年级下册《认识方向》单元中，有这样一道题目：“送小动物回家”（详见图1）。每次教到这里的时候，笔者都有一种感受：学生即使没有掌握本节课所学的四个方向的辨别方法，也一样可以根据小动物喜爱吃的食物，顺利地帮助它们找到各自的家——也就是说，即使找到了小动物的家，也无法确定学生是否真正掌握了辨别“四面八方”的方法。可见，这道题的呈现方式弱化了所要考查的“认方向”的数学本质，不利于学生关注数学的实质，起不到练习与反馈的效果。这样的题目，意义到底在哪里？

新课程提倡：淡化形式，注重实质。何为形式？形式是指事物的外显形态；对内容而言，是指事物的组织结构和表现方式。何为实质？实质又称“本质”，是事物、论点或问题的实在内容。当今数学课堂中形式化的表现有表述格式化、计算程序化、情境趣味化、思维表面化、数学味淡化等。我们的数学教学不能被形式化的东西束缚，要敢破敢立，破除外在形式化的“茧子”，抓住内在的实质，返璞归真，还原数学本来的面目，从而高效地完成教学活动，追求对学生身心和终生发展有用的数学。

一、淡化内容表达的格式化，关注概念实质

当下的教学中，出现了对数学概念在形式上和细微处孜孜以求，追求形式的、繁琐的格式化倾向，冲淡了概念的数学实质，脱离了学生的认知实际，这是不利于学生数学能力的培养的。教学中，对名词、术语，重点应该放在让学生领悟其实质上，不必在文字叙述上苛求学生。

（一）有道无道非常道，殊途同归重实质——多样与同一：理解可多元化

例如，《平行四边形》一课的教学，学生通过操作体验活动，如果能够感受和把握平行四边形的特征，知道平行四边形具有“两组对边分别平行且相等”、“两组对角分别相等”、“四个内角的和为360°”、“相邻两个内角的和为180°”等特点，就已经认识了平行四边形；如果还能够运用在经历探寻图形特征的过程中掌握了的图形特征及研究图形特征的方法，对相关问题进行有效判别，就已经达成了学习目标。因此，不必格式化地苛求学生对平行四边形的定义下得像书上那样严密，表述得一字不差——这对学生来说，很难达到，而且意义不大;

而应注重学生的理解及理解的过程是否到位。

对平行四边形概念的表述，学生说成“一组对边平行且相等的四边形叫平行四边形”，或者“两组对边分别平行的四边形叫平行四边形”，或者“两组对边分别相等的四边形叫平行四边形”，都是可以的，都已经抓住了平行四边形概念的内核与实质（它们的意义是等价的）。

（二）口拙言笨道不出，滔滔不绝在纸上——口述与笔述：表达可多样化

例如，对运算律的表述，学生表述加法、乘法交换律难度不大，而表述乘法分配律则比较困难。笔者发现，学生通常能

够经过“举例—猜测—举例验证—归纳总结—再举例验证”的过程，得出并合理运用运算律，但他们往往纠结于无法用流畅、规范、精确的数学语言，把自己理解的运算律表述清楚。这时，过分追求文字的精准是不符合学生语言发展水平的，也是没有意义的；应该引导学生关注运算律的内涵，鼓励学生在理解的基础上用多样化的方式来表达，如用文字式子或者含有字母、符号等的式子来表达，对学生而言就显得可亲近多了。

形式对数学内容而言是很重要的，学生的学习过程需要必要的形式，但过分苛求的话，就容易沦为形式主义。把握数学内容的本质，具有比追求形式更上位的价值，当教学内容特别关键的本质属性“隐蔽”在非本质属性之中时，要启发学生一步一步地从非本质属性中将之揭露、表征出来。为了帮助学生有效把握实质，可以合理运用变式，从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景对数学

定义、定理、公式以及问题加以变化，以利于概念本质属性的凸显。

二、摒弃建构过程的表面化，引发深度思考

知识的建构是通过新旧知识之间充分的相互作用，通过知识的同化与顺应来实现的。数学学习的本质不在于记忆别人的知识，而在于作为一个思考者建构自己的知识体系。当前的教学中，有不少

表面化倾向：机械训练多于能力培养，过分关注知识的讲授，较少考虑实质性引导，讨论交流、操作体验、合作探究流于形式，时间和精力没有用在刀口上。何解？

（一）下河方知水深浅，欲寻真知须躬行——编题与出卷：参与应深入化

适当留“白”，给学生的思维保留必要的空间，引发学生自主建构，是非常必要的。例如，

在解决有关图形面积的实际问题时，学生会遇到这样的困扰：到底是乘面积还是除以面积？对

此，笔者大胆改变教学内容，留给学生大量自主发挥的空间与时间：提供的学习材料只有一个长方形，让学生自主添上必要的条件，编制成含有总数、份数、每份数的问题，在编题、解题和归纳方法的基础上，厘清其中的数量关系。学生们编出情境、内容、解法不一的几十道题，但这些题目因缺乏系统思考而比较零散、不成体系。因此，笔者引导学生将之分类，学生则大多将其分为乘、除两类。笔者再引导学生分析分类依据，帮助他们弄懂这类问题的数学本质：当知道总数和份数（或每份数），求每份数（或份数）时，用除法来计算；而知道每份数，面积作为份数，求总数时，用乘法来计算。这样的留“白”，是学生自主实现知识建构的前提条件，达到了数学本质学习的深入参与。

（二）穷尽数理重有效，举一还需能反三——迁移与拓展：思考应多向化

仅仅给学生的思维留“白”，也还是不够的，

教师还需要设计具有思考价值的问题，帮助学生运用已有知识思考新的知识，并进行分析、判断、假设、推理等一系列的活动，以实现知识的有效建构。笔者认为，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，对于发现新知识以及建立新旧知识之间的联系，

有不可或缺的积极意义，应该和演绎推理一样，受到重视。这样，才能在强调思维严密性、保证结果正确性的同时，有效发挥思维的

探索性和发现的直觉性。例如，《乘法分配律》一课的教学，因为学生有了学习运算律的初步经验，所以教师应该重点让学生通过多种方法去完整地感知，对所列算式进行观察、比较和归纳，大胆提出自己的猜想并举例验证……再引导学生进行合情推理：你能从已有的结论出发，通过变换、联想，形成新的猜想吗？从而经过实例验证，推断出“（a-b）×c=a×c-b×c”以及“(a+b+c+d)×e=a×e+b×e+c×e+d×e”等迁移和拓展形式，丰富知识的内涵，生动地落实知识的建构过程。这样的让学生积极地动脑思考、动手实践、动口表达的过程，兼顾了学生知识的习得与能力的发展。

注重实质的教学不应把表面的“动”理解为主动建构的实现，而应把外在的行为与内在的思维活动结合在一起，从经验的唤醒与重组、活动的组织与开展、教学的引导与建构、学生的探究及内化等角度,引导学生深入参与、多向思考。

三、减少远离现实的抽象化，趋向具体可感

数学是一门严谨的科学，有些数学语言与内容比较抽象，会拉开其与学生的距离，造成学生理解的困难、

情绪的畏难，使学生无法顺利找到数学学习的切入口，学习效果不好。这就需要教师在教学的过程中运用教学智慧，去除晦涩难懂的抽象化，采取可亲有趣的具体化，以帮助学生沟通数学理论与生活经验的联系，从而喜爱、亲近数学，理解、掌握数学。

（一）数学处处有海洋，大海捞针讲巧法——放大与缩小：方法要生活化

例如，《比较分数大小》一课中，有这样一道思考题：找比四分之一小、比五分之一大的分数。对此，一些基础比较薄弱的学生感觉困难，无从下手。因此，笔者展开了这样的教学——

师你们感觉困难的原因是什么？

生它们分子一样，而分母又太接近，4和5中间没有数了。

生没有间隙，找不到中间还会有什么分数。

师其他同学有同感吗？

（有学生点头。）

师（用铅笔在纸上点了一个很小的点，向学生展示）就好比这个点，你能看到吗？

生看不见。

师点太小,看不见，通常你会怎么办？

生用放大镜让点变大一些。

师要是还看不到呢？

生用更大倍的放大镜，或者显微镜。

师有道理，对你解这道题有启发吗？

（学生马上想到了通分：让分数的分子、分母变得更大一些，直到可以找到四分之一和五分之一之间的分数为止。）

当然，解决这道题的方法还有很多，但是，当学生对抽象的数学道理感到无从下手、不知道从哪个角度来思考时，联系学生的生活经验，用浅显的

事例让他们明白数学方法背后更深的道理,是一个很好的选择。从实际的教学效果来看，班里的每一位学生都很容易地理解了为什么要进行通分，而且不容易遗忘。

（二）几何世界真奇妙，千变万化有门道——平移与旋转：思路要熟悉化

例如，对于苏教版小学数学四年级下册的“旋转”内容，很多教师都有一个共同的感受：难教，对于四年级的学生而言过于抽象，学生反馈出的问题也很多。因此，笔者展开了这样的教学——

（播放小区车库旋杆旋转和钟楼大钟面三角形指针转动的视频。）

师刚刚的旋杆打开和关闭，是我们生活中常见的旋转现象。如果给你一条线段，让你模仿小区车库旋杆的旋转，把这条线段绕端点O逆时针旋转90°，你会把旋转后的图形画出来吗？

（学生动手画图并展示。教师请一些学生说一说是怎么画的。）

师刚刚是一条线段在旋转，现在我们来点有难度的，好吗？这里有一个图形，是由OA和OB两条线段组成的，请将这个图形绕点O顺时针旋转90°，会吗？动手试一试，并展示。

（学生动手画图并展示。教师课件演示OA和OB组成的角旋转的过程。）

师OA在旋转前和旋转后形成的是什么角？OB呢？

生直角。

师如果我把A、B两点连接起来，就成了什么？

生三角形。

师（出示题目）这里就有一个三角形，你能把它绕点A顺时针旋转90°后的图形画出来吗？

（学生思考。教师引领：固定点、旋转方向和旋转角度。）

师请同学们闭着眼睛，回想一下大钟面三角形指针是怎么旋转的，再想象一下三角形ABC应该怎样旋转

。在练习纸上画出三角形ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形。

（学生尝试。教师指名学生说一说怎么画。师生共同总结方法：（1）找到固定点。（2）明确旋转的方向和角度。（3）确定相交于固定点的两条直角边旋转后的位置，再把图形画完整。)

从回想实物的旋转到想象图形的旋转，再到动手去画，有效地将原本抽象的内容具象化，

使学生凭借生活原型在脑中建立了模型，从而化难度于无形。学生经历了“看—想—画”的过程，对知识的感受和理解便更加深刻。这样的引领，会让学生把“运用熟悉的思路，融通数学与生活，抓住本质与核心”的方法运用到千变万化的几何世界中去。

数学源于生活，又可用于生活，数学理论和生活经验有很多契合点，道理是相通的。善于捕捉这样的契合点，在不违背数学知识科学性、严谨性的前提下，合理采用生活化、

熟悉化、感性化、易懂化的教学方法，可以深入而浅出，让抽象的数学走向具体，让枯燥的数学变得生动，更符合学生的认知特点。

四、避免问题解决的程式化，感受思想方法

受思维定势和先入为主的影响，学生往往会采用之前最先接触到的方法（即习得的程序）去解决当前面临的问题，缺少应变能力。而解决问题的过程并非都可以套用固定的模式，僵硬地照搬是行不通的。在教学中，教师要使学生在逐步理解和掌握数学问题一般规律和本质属性的同时，感受数学知识背后隐藏的数学思想方法。

（一）路到尽头再探寻，方法藏在形式后——有序与准确：思维当缜密化

例如，苏教版小学数学四年级上册的《认数》单元中，有这样一道思考题：用4个“8”和4个“0”，你能摆出下面的数吗？先摆一摆，再读一读。（1）一个“零”都不读出来的八位数。（2）只读出一个“零”的八位数。（3）读出两个“零”的八位数。（4）读出三个“零”的八位数。众所周知，多位数的读写，含“零”数是难点。对于此题，只摆出符合要求的一两个数并不复杂。因此，考虑到学生缺少有序思维的成功

体验，笔者决定让学生展开有序的思考，以寻求全面的答案。在探究的过程中，学生采用不同的方法尝试着：或在数位顺序表中有序地排列；或根据每个数位上数字的可能性分类处理；或将新的知识与前面所学的类似知识沟通联系，运用自己熟悉的方法得出答案。在课堂上，学生经历了感受有序思维带给他们的乐趣，获得了成就感，他们思维活跃，争鸣声音让人兴奋，使有序方法、分类意识、符号思想

等数学思想方法渗透于无形。

（二）条条大路奔罗马，这条不通走那条——切入与思考：策略当发散化

例如，《解决问题的策略——画图》一课的教学，不能把学习画图策略作为教学的终点，而要把“我怎样想到这种策略的”、“为什么要运用这个策略”、“它的价值何在”、“我该怎样运用这种策略”、“除此之外还有没有其他策略”、“对于此类问题哪种策略更为合适”等问题作为学习与反思的内容，从而在更深远、更广阔的意义上真正建构起对策略的认知，初步感受化归思想、数形结合思想以及建模思想等数学思想方法。

儿童的数学应当是更加接近数学教育内核的数学。这个内核，不是技能训练，不是知识堆积，而是数学思想方法。思想方法的获得是建立在数学知识学习的过程中的，离不开学生的亲身体验，更离不开教师引导下的反思体悟。这才是数学学习的精髓。

综上所述，过于注意形式，只能是“作茧自缚”，也必然导致学生的思维

逐渐僵化，灵性逐渐消亡。而淡化次要因素，突出本质内容，能让学生节省出精力和时间，关注数学学习的主要矛盾和核心目标，掌握充满生机的数学精髓，获得饱含活力的数学素养。

*本文系江苏省中小学教学研究第九期课题《小学数学“核心知识”教学的理论与实践研究》的阶段性研究成果之一。

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参考文献：

［1］ 陈重穆等.淡化形式, 注重实质［J］.数学教育学报,1993(2)

［2］ 黄济.小学教育学［M］.北京：人民教育出版社，2011

［3］ 傅赢芳等．数学“双基”中的形式化与非形式化［J］．中学教研(数学)，2005（2）

［4］ 张俊平.教师，做个思想者［M］.天津：天津人民出版社，2009