以数学故事串联知识点——对数学史辅助“对数概念”教学的探索

吕建林

(江苏省南京市第一中学，210 001)

一、学情分析

“对数概念”是苏教版高中数学必修1第3章第2节《对数函数》的第1课时内容。在此之前，学生已经学习过函数的概念、表示方法和一般性质，完成了分数指数幂和指数函数的学习，掌握了研究函数的一般方法，经历过从特殊到一般、从具体到抽象的研究过程。对数概念的学习，是对指数概念和指数函数学习的深化，也是后续学习对数函数的基础。

因此，本节课的教学目标是：(1)理解对数概念，能够进行对数式与指数式的互化；了解常用对数和自然对数；掌握几个简单的对数恒等式。(2)通过对问题的探究，体会引入对数概念的必要性和合理性。(3)感受从特殊到一般、化归转化的思想方法。本节课的教学重难点是：对数式与指数式的相互转化，对数概念的建构与理解。

二、教学设想

对数的发明是数学史上的伟大成就之一，作为一个困扰天文学家、数学家多年的问题，高中生在面对这个抽象的概念时的认知难度可想而知。因此，本节课充分借助数学史上与对数有关的问题和故事展开对知识的探究，通过一个数学名著中的趣题激发学生的研究兴趣，启发学生结合已有的指数知识展开认知与建构，从特殊到一般体会对数发明的必要性和合理性，在化归转化中把握指数与对数的关系，使一个看似人为编造出来的概念成为“有源之水”、“有根之木”。

本节课中另一个容易被轻视的知识点是常用对数与自然对数的概念，通常的做法是直接给出这两个概念，但会使学生觉得比较突然，不利于其接受理解和准确使用。笔者尝试从数学史中找到常用对数和自然对数的由来，并以数学故事的形式让学生感知人类在漫漫历史长河中对对数的追寻和有关概念的发明历程，从而使数学知识不再枯燥生硬，变得生动有趣，并把看似联系不大的知识点有机地串联起来，形成一个整体。这样的教学，符合学生的认知规律，便于其掌握数学知识和方法，体会到数学的价值和力量。

三、教学过程

（一）创设情境，探索新知

首先，以中国古代数学名著中的一道趣题引入，启发学生思考，从而了解该题的本质是如何依据底数和幂的值求指数。（教师出示问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问：几何日相逢？各穿几何？）师这是我国古代最著名的数学专著《九章算术》中的第196题，大家一起来思考一下。

在公元1世纪左右的汉朝，能得到如此近似的结果已经是非常了不起的成就。遗憾的是，古代中国的数学家们未能再作深入研究，找出解决此类问题的方法，因而，错过了人类数学史上的一项重大成就。今天，你们掌握的数学知识已经远超当时数学家的一般水平，那么，大家一起来尝试解决它。要解决一个问题，首先要搞清楚这个问题的本质。它是什么类型的问题？你见过跟它类似的问题吗？

生这个问题是已知底数和幂的值，要求指数。

师通过前面的学习，我们已经知道，在指数式的底数、指数和幂这3个数中：已知底数和指数，通过乘方运算可以求得幂；已知指数和幂，则通过用开方运算或分数指数幂运算可以求得底数。那么，已知底数和幂，如何求指数呢？

生在有些特殊情况下可以求，比如2Z=32，根据25=32就知道x=5。不是特殊值就没办法了，只能求近似值。

师很好！以方程2x=5为例，怎么找出z的近似值，你能说说吗？

生可以数形结合，转化为求两个函数图像交点的横坐标．把y=2x的图像画出来，再作出y=5的图像，交点的横坐标就是方程2x=5的根。

师通过他的分析，我们不难发现，这个方程有根，而且根据指数函数的单调性，只有一个根。虽然表达不出来，但我们可以肯定的是，这个根是由底数2和幂的值5确定的。

生可以用底数和幂来表示这个根。

师是的。在很长一段时间里，人们都没有想到解决这个问题的办法。直到1614年，苏格兰数学家纳皮尔(1550～1617)在研究天文学的过程中，为简化计算而攻克了这个难题。他的解决方式是：发明了一个新的数学概念——对数。一般地，如果a(a>0，以≠1)的6次幂等于N，即ab=N，那么就称6是以以为底的N的对数，记作logaN=b。开普勒首先引入符号logaN，其助手、瑞士钟表匠比尔吉制作了世界上首张对数表。

师按照上述定义，你能写出这个问题的答案吗？

师同学们，今天我们认识了对数，透过它，我们感受到科学家思考问题的奇妙历程，也感受到数学发展推动人类探索和认识世界的强大力量。今天的课后作业是：教材第74页的练习3、4、5、7。希望大家通过练习掌握对数的基本概念，我们明天继续研究对数的运算性质，进一步学习这个认识世界的新工具！

四、教学反思

《普通高中数学课程标准（实验）》倡导，让学生通过丰富的背景感受数学、建立数学、运用数学；苏教版高中数学教材的每个章节都安排了拓展、链接、阅读等栏目，并鼓励教师根据学生的不同需求为学生提供选择的空间。本节课从教学内容出发，补充了与对数研究有关的历史名题以及对数底数的演变历史，填补了概念发生的背景，使对数概念因其发展史而变得生动，也为更多的学生认知和理解。

当然，由于本节课引入了大量的历史素材，而且课始出示的问题要用到等比数列求和公式，导致整节课教学内容偏多偏难，教学节奏偏快，一些学生有“囫囵吞枣”的现象。可见，运用数学史辅助教学时，课前应给学生发放一些阅读材料，或者介绍一些相关网站、读物等，引导学生拓展学习，以解决课堂容量过大或较难的问题。

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参考文献：

[1]【英】J．F．斯科特，数学史[M】.侯德润，张兰译，南京：译林出版社，2012

[2]张萍，“对数的概念”教学设计[J】．数学通报，2014(4)