超级画板支持下的“角平分线”教——对汪晓勤教授一则HPM案例的进一步研究

汪 文，陈清华，徐章韬

(华中师范大学数学与统计学学院，430079)

“角平分线”是初中数学的一个重要知识点，它的尺规作图及性质是学生必须掌握的。汪晓勤教授在《HPM视角下的“角平分线”教学》一文中，研究了“角平分线”的历史，并设计了将其融入教学的一个简要过程。笔者以汪教授的设计为基础，借助超级画板软件强大的作图、动画功能，给出了细化、完善的“角平分线”教学设计，并得到了一些关于技术、历史和课程内容有机融合的教学感悟。

一、教学设计

（一）情境引入

教师出示情境问题：如图1，在公园深处，有两条人行道形成的岔路，工人们要在岔路之间、距路口一定距离处安装一盏路灯，使其照得两条人行道一样亮，问灯柱应该立在什么地方？

教师可在一旁提示：要使路灯照得两条1人行道“一样亮”，灯柱就必须立在两条人行l道所成角的平分线上。同时，运用超级画板将岔路抽象成一个角。

[设计意图：利用取材于生活的数学问题，激发学生的学习兴趣，引发学生的思考。通过把一个实际问题抽象成数学问题——如何求角的平分线，实现了“数学化”的过程。]

（二）尺规作图

教师可先介绍教材上的作图方法，再提问学生：古代数学家是如何作图的？由此，教师可先简单介绍一下古希腊数学家欧几里得和他的《几何原本》，并利用超级画板展示其作图过程：如图2，在角AOB的一条边OA上任取一点D，以为0圆心、OD长为半径作圆弧，交角AOB的另一条边OB于点E；再以DE为边作等边△DEF，连接OF。

接着，教师可利用超级画板的测量功能测量角DOF和角EOF的大小，同时移动点D，引导学生发现在移动的过程中两个角的大小始终相等，从而确定射线OF即为角AOB的平分线，欧几里得的作图方法是正确的。

此后，教师可追问学生：古代数学家作图背后的几何原理是什么呢？也即，如何从逻辑上证明，而非从事实上验证射线OF平分角AOB?由此，教师可引导学生通过三角形全等来证明：如图2，由作图可知线段OD一OE，FD= FE，又OF边公用，因此△ODF∽△OEF，从而角DOF=角OF，即射线OF为角AOB的平分线．

[设计意图：引入数学史可以恢复数学背后的“人的元素”，让学生体会到数学是自古以来人类的重要文化活动。证明作图方法之前用超级画板演示动态效果可以使学生获得生动的体验和感性的认识，有助于学生深入理解和牢固掌握概念。同时，通过作图方法的严格证明，要让学生认识到技术和应用背后是科学理论的支撑，学习数学一定要重视逻辑思维的训练。]

（三）性质探究

学会了如何作一个角的平分线后，教师可继续引导学生思考：那么角平分线与角的两边之间有何关系？角平分线有什么特征或性质？此时，教师可反问：为什么前面的例子中灯柱要立在角平分线上？

当学生指出距离相等才能“一样亮”后，教师可先利用超级画板进行验证：如图3，给定一个角AOB，作出它的平分线OD．在OD上任取一点C，利用超级画板的测量功能测量点C到角两边OA、OB的距离，可以发现在移动的过程中点C到OA、OB的距离始终相等。那么这个性质如何证明呢？可再引导学生通过直角三角形全等来证明。最后，教师总结结论：角平分线上的点到角两边的距离相等。同时，强调这是角平分线的非常重要的性质。

[设计意图：回到课堂开头的问题，可以起到前后呼应的效果，而且可以使得学生在应用中加深对角平分线及其性质的认识。]

（四）拓展引申

掌握了角平分线的作图和性质后，教师可引导学生利用尺规作图将一个角四等分、八等分、十六等分……然后提出问题：能否用尺规作图完成三等分角？学生尝试失败后，教师可指出：三等分角问题是古希腊三大几何难题之一，古代数学家很早就尝试利用尺规作图完成三等分角，但是都以失败告终，直到19世纪才有数学家证明利用尺规作图是不可能完成三等分角的。

此时，学生可能会提出用量角器或者超级画板通过测量来作图。对此，教师可指出：尺规作图因其良好的准确性而被广大数学爱好者推崇，我们学习几何学不只是为了解决一些实际问题，更重要的是可以锻炼我们的逻辑思维。然后，教师可以讲解美国总统林肯学《几何原本》的真实故事。

[设计意图：再次引入数学史和名人故事，拉近了学生与数学的心理距离，增强了课堂的趣味性；同时，自然引入几何学的价值，将本节课升华到一个更高的层次——可达到一箭三雕的效果。]

二、教学感悟

弗赖登塔尔所说过：“没有一种数学思想像当初被发现那样得以公布。技巧得到了发展和使用，一旦问题获得解决，就会把解答的程序颠倒过来，使火热的创造变为冰冷的美丽。”他把这种呈现方式在数学专著或数学教科书里的表现称为“教学法的颠倒”。如何避免这种颠倒？在教学设计的过程中，我们可以将数学史与数学教学进行有机地结合，引领学生重温数学知识发生和发展的过程，实现从具体到抽象的转换，使学生学习数学的积极性和欲望更加强烈，帮助学生认清数学的本质，感悟数学的精髓。如何更好地将数学史融人数学教学？需要我们从教育取向出发，深入研究数学史，并作出合理的取舍和选择，进行创造性构建；同时，遵循趣味性、科学性、有效性、可学性和新颖性的原则。

目前，信息技术的作用和价值已经得到社会各界的普遍承认。但是，我们也不难发现，大部分信息技术的产生并非出于教学的目的，而把普适的信息技术应用到教学中就会费力不讨好。因此，我们需要从教学需求出发，整合信息技术。在数学教学中，画图是为了讲道理、讲清道理，数学的道理常常表现为形与数的统一、变化中的不变。例如，函数图像（曲线）与函数解析式（方程）是联动的，是一回事；三角形不论如何变化，内角和总是180。，三条中线总是交于一点。为此，我们需要动态几何作图软件辅助教学，以生动、深入地讲清一些道理。这样的软件所作的图形应该有两个基本特点：(1)图中的对象可以用鼠标拖动或用参数的变化来驱动；(2)其他对象会自动调整其位置，以保持图形原来设定的几何性质。从实践中，我们发现我国的超级画板和美国的几何画板都能很好地实现这些功能，而超级画板的功能更加全面——甚至可以概括为“动态几何作图十函数曲线作图十几何图形变换十图形和表达式动态测量十逻辑动画十图形跟踪和轨迹十符号计算十数值计算十编程环境十统计图表工具十公式编辑器十课件平台”。

综合来看，将数学史引入数学课堂往往会增大课堂的信息容量，而利用超级画板强大的作图、动画等功能，可以清晰、准确地展示图形的变化过程，增加数学课堂教学的生动性和体验性，从而增强数学史教学的趣味性、科学性、有效性、可学性和新颖性，让数学史更容易走进数学课堂。此外，数学史上很多漫长、繁复的探究，在超级画板快捷而冰冷效果的映衬下，会显得质朴、笨拙，却又热情、可爱——在这古今对比中，也能让学生感到人类文化的积累过程、人本身的渺小和伟大，获得情感的升华。教育期刊网 http://www.jyqkw.com
参考文献：

[1]汪晓勤．HPM视角下的“角平分线”教学[J]．教育研究与评论（中学教育教学），2014 (5)