一致性数学概念形成的关键——《三角函数的周期性》教学思考

宫建红

(江苏省扬中市第二高级中学，212200)

第二期江苏省高中数学青年骨干教师研修班于2013年12月在南京市中华中学，进行了为期3天的“三次磨课，多次反思”活动。

在这期间，我们就“数学概念教学”这一研修主题，以“三角函数的周期性”教学为例展开了分组研讨。通过人人备课、小组研讨、组内抽签上课、专家针对点评、集中汇报、组内反思再设计等环节的多次反复，笔者受益颇深。

此后，笔者认真反思总结，将本节课的教学思路梳理为：首先利用生活中的周期现象引入，然后利用圆周运动建立数学模型，定义三角函数、三角函数线——围绕的都是周而复始的现象；接着从数学的角度，将现实的问题形式化、精确化、可操作化……让这些建构的过程在数学概念的形成过程中具有一致性。然后，笔者精心设计，重上了这节课。

一、教学过程

（一）概念的引入

师三角函数在本质上，是对单位圆圆周上一个点运动的“动态描述”，是刻画周期现象的数学模型。

（教师出示问题1：你对这里的“周期现象”如何理解？它是一种怎样的规律？）

生 每间隔一定时间会重复出现，即“周而复始”的现象。

师 这里的间隔是定值，还是变量呢？

生 定值。

师 我们生活中有周期现象吗？你能举出例子吗？

生 日出日落。

师 这个现象的变化规律是什么？或者说，“周而复始”在你所举的例子中是如何体现的？

生 每过24小时日出日落便重复出现。

师 同学们还能举例吗？

生 四季更替。每过1年四个季节便重复出现。

（教师总结并板书，如图1所示。）

师 从刚才所举的例子中，我们可以发现“周而复始”表现为：时间在变，结果不变。

[设计意图：学生在本节课的学习之前就对周期现象有模糊的认识，可以用自己的语言来表达自己所理解的周期现象，但呈现出“描述不准确、理解不深入”等特点。这里从学生的已知入手，从生活情境入手，引导学生对所举实例进一步思考，从而一步步接近周期现象的自然本质。]

（教师出示问题2：在之前对三角函数的研究过程中，你发现有周期现象吗？并具体阐述。）

生 终边相同的角的三角函数值相等。

师 这里什么在变，什么不变呢？

生 角的大小在变，终边位置不变，从而三角函数值不变。

（教师用几何画板动态演示学生所描述的变化过程，如图2所示。）

师 你能用函数的观点来说明这种变化规律吗？

生 自变量是“角的大小”，因变量是“正弦值（余弦值、正切值）”，自变量每间隔2rc，因变量结果相同。

（教师总结并板书，如图3所示。）

师 我们把三角函数所具有的这种周期现象称为三角函数的周期性。

（教师揭示并板书课题。）

[设计意图：数学本质上是模式或模型的科学，其目的是揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构。这里通过自然语言、图形语言、示意图（“模式直观”）、符号语言来表征三角函数的周期性，以便促成不同表征之间的转换与转译。]

（二）概念的建构

师 如果一个函数具有周期现象，它就叫做周期函数。

师 这3种书写，哪一种比较简洁？

生 后面两种。

师 哪一种比较规范、严谨呢？

生 最后一种。

师 以为特定值，能为0吗？为什么?生不能为0。若为0，这个式子就变成f(x)=f(x)，从而任意一个函数就都是周期函数了。

师 那这里的x又该取什么值呢？为什么？

生 定义域中的每一个值。

（教师展示教材中函数周期性的概念。）

[设计意图：这里让学生经历由特殊到一般生成定义的过程，并且通过追问，培养学生思维的严密性、表达的准确性，也使得学生对定义有初步的理解。]

（三）概念的理解

（教师出示问题4：请你谈谈对周期函数定义中表达式“f(x+T)=f(x)”的理解？然后，引导学生从自然语言、符号语言、图形语言3个方面去理解。）

师 你觉得周期函数的图像会是什么样子的呢？

生 不断地重复某一段。

[设计意图：周期性的定义有多重表征形式，在学习和今后解决问题的过程中，不同的学生会偏好不同的表征。这里照顾学生之间的差异，同时也便于在不同的表征之间建立联系，让学生对周期性有更深刻的认识。]

（教师出示问题5：根据定义，正弦函数除2π外有其他周期吗？）

生 2kπ(k∈Z)都是周期。

师 没有例外？

生 k≠0。

师 这么看来，周期函数有无数个周期，每个都研究的话就太麻烦了，选哪一个出来研究呢？

生 挑一个特殊的。比方说，在2kπ(k∈Z且k≠0)中就挑2π。

师 也就是说，挑“最小的正数”。

（教师展示教材中最小正周期的概念。）

师 今后所说的周期，如果不特别说明，一般都指函数的最小正周期。余弦函数、正切函数的周期分别是什么？

生 2π，π。

[设计意图：这里通过思考和辨析，进一步促进学生对概念的理解，在丰富了学生知识结构的同时，说明了研究最小正周期的必要性。

（四）概念的应用

师 （出示图4）这个图给你的直觉是什么？根据这个图你能得到哪些信息？

生 我觉得这是一个周期函数的图像。根据图像，可以得出这个函数的周期，还有一些函数值。

师 周期性的用途是什么？你觉得由你读出的信息，还可以继续得到些什么？

（学生互相讨论、自主汇报，教师总结。

接着，教师出示如下例1。）

例1若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)

之间的函数关系如图4所示，求t=10s时钟摆的高度。

（学生独立解决此题。部分学生通过补充的图像解决，部分学生通过得到的函数式解决。教师出示问题6：回顾这道题，你所体会到的周期性对解题有什么帮助？）

生 确定了周期后，就能将要求的函数值转化到一个基本的区间上了。

师 你能根据周期函数图像的特征，把上图再补充一些出来吗？

（学生画图。）

师 由图可知f(2+0.5)=f(2)，那么，0.5也是该函数的一个周期。对不对？

生 不对。只对一个自变量取值成立不能说明问题。

师 如果在这个函数图像中挖去一个点，它还是周期函数吗？

生 不是。有一个点不成立都不行。

师 如何继续破坏，让其变成一个周期函数？

生 从此点出发，沿z轴方向，每间隔一个周期长度，去掉一个点。

[设计意图：这里适当改变问题呈现的顺序，让学生依次学会读图、识图、用图，先思考周期性的应用、再通过例题验证，并让学生在交流和汇报中提升。题目解决后的反思，是为了培养学生良好的解题习惯，也有利于学生优化认知结构。其后的一连串追问，既是例题的变式，也是周期性概念的变式，进一步深化了学生对概念的认识，巩固了学生所学的知识。

（教师出示如下例2。）

二、教学感悟

（一）要对内容有整体的理解

苏教版高中数学教材的编写者之一樊亚东老师说过：“数学教师在进行教学设计时，要思考你是上一节课，上一章的课，上一本书的课，还是上三年的课。”

对本节课来说，首先，要了解并落实教材的编写意图。不同版本的教材中，周期性概念在出现的顺序上是有差异的。比如，人教版教材是先研究三角函数的图像，再借助图像观察、概括、抽象出一般函数的周期性。苏教版教材则是先研究三角函数的周期性，再研究三角函数的图像与性质——旨在解释作正弦函数图像只需要作出[0，2π）上的即可，而对于一般函数的周期性只需要了解即可。

其次，要掌握概念教学的核心是概念的生成。回顾函数单调性、奇偶性概念的生成，大体都经过了这样一个过程：图像特征一点的坐标关系一形式化定义。而苏教版教材顺序上的改变，导致学生缺乏概括周期性概念的具体图像。因此，本节课从生活中的实例引入，进而借助学生已经掌握的等式sin(x+2π)=sinx，分析后给出形式化定义，同时从自然语言、符号语言、图形语言3个方面来加深学生对概念的理解。

（二）要对学情有准确的把握

学生在学习本节课内容之前，已经能够感知生活中有大量的按照一定规律不断重复出现的现象，对周期现象的概念有了模糊的认识；而且已经学习了函数的单调性、奇偶性，具备了研究函数性质的基本经验，也对形式化的定义表示有了一定的认知基础。因此，周期性概念的生成要落实在学生的最近发展区。

此外，概念的生成、例题的讲解等，要充分考虑高一学生的思维特点：他们已经有了初步的抽象概括能力，但绝大部分学生的思维还是以直观为主。因此，板书的图示和课件的演示，都能帮助学生更直观地理解知识；而概念的生成应该采用由特殊到一般的方法，概念的理解应该以具体的函数作为媒介；且概念的辨析也应该出现在概念的建构过程中，而非在应用之中。

（三）要以问题为中心引领学生的思维

数学是一门理性学科，强调逻辑思维。数学教学要充分关注学生数学思维的发展；而问题是思维的核心，问题也是讨论的平台与空间。课堂中，问题的主要构成可以是“问题链”的形式，也可以是“问题组”的形式，但关键是脉络清晰，要能够起到聚焦学生思维，引导学生用数学家的眼光看世界、追根求源的功能。从本节课来说，通过6个关键问题贯穿整个课堂，关注了初始问题的设计，也让之后的每个追问都能自然引出，使得整节课总体上合拍。