情境和方法：让探究自然发生——《和的奇偶性》教学设计与评析

【编者按】 接着前面一期，我们继续刊发针对苏教版小学数学教材中修订幅度较大以及需要重点关注的教学内容提前进行的教学思考与设计。本期呈现的是江苏省太仓市实验小学查人韵老师和江苏省苏州市教育科学研究院刘晓萍老师对新教材五年级下册《和的奇偶性》一课的教学设计和评析。

查人韵1执教，刘晓萍2评析

（1.江苏省太仓市实验小学，215400；2.江苏省苏州市教育科学研究院，215000）

【教学设计】

一、教学思考

新课程改革倡导培养学生的探究能力，而要形成探究能力，首先要养成探究的习惯，让猜想、举例、验证、归纳、总结等探究活动像呼吸一样自然。习惯的养成需要一定量的训练，因此，苏教版小学数学教材最新的修订对从三年级上册开始的每一册都增设了以探究为主题的内容，这既从数量上增加了探究性学习的比重，也从质量上对前一阶段的探究性学习进行了有效深化。

五年级下册所增设的规律探究内容是“和与积的奇偶性”，安排在了《因数与倍数》单元之后。这一内容的教学是在学生已经认识了奇数、偶数、质数、合数等概念并积累了较多探索数的特征的活动经验的基础上进行的。通过这一探究活动，一方面有利于学生从新的角度丰富对奇数、偶数等概念的认识，进一步感受数学知识之间的广泛联系；另一方面有利于学生深化前一阶段已经积累的探索数的特征的活动经验，进一步发展数学思考

能力。

对于“和与积的奇偶性”的教学，教材安排了四个环节：（1）探究两个数的和的奇偶性；（2）探究几个数的和的奇偶性；（3）探究几个数的积的奇偶性；（4）组织对活动过程进行回顾和反思。笔者认为，规律探究教学的主要目标，是经历过程，积累探索活动的经验，促进探究习惯的养成，而不是对规律本身的理解和把握。笔者发现，要让学生充分经历数学发现的过程，用不完全归纳法发现一些规律，需要给学生足够的时间。因此，对于这一内容的教学，笔者设计了两个课时。其中，第一课时只研究“和的奇偶性”，目的是切实保障学生经历完整的探究过程，充分感受其中所蕴含的数学思想方法，为之后自主探究积、差、商的奇偶性作充分铺垫。

二、教学过程

（一）魔术导入，激发兴趣

师（投影展示摆牌过程，结果如图1所示）这里有一些打乱了的扑克牌，我把它们像这样排成5×5的格子。下面我要介绍一种“长方形翻”。什么意思呢？（投影展示翻牌过程，结果如图2所示）这是一个长方形，把它的四个角上的牌翻一次。明白了吗？

生（众）明白。

师现在请你选择一张你最喜欢的牌，可以是正面朝上，也可以是背面朝上；请你先把这张牌翻一次，再任意做几次“长方形翻”。等会

儿老师来猜你最喜欢的牌是哪一张。

（一位学生上台翻牌，底下的学生十分来劲，指挥着台上的学生翻这张、翻那张，结果如图3所示。学生翻牌的过程中教师背着身子。）

师现在要看我和这位同学是否心意相通，能否感应到他最喜欢的一张了。（伸手横着比划了几下后，指着第2行）一定在这一行。

生（有点惊讶）对的，对的！

师（竖着比划了几下后，指着第3列）一定在这一列。那，就是这张！

（全班学生爆发出惊叹声与掌声，接着就是小声的嘀咕。）

师（指着一位嘀咕学生）你知道用的是什么方法吗？

生我知道，是找缺角的地方。

师你很会观察，推断有理有据。我不知道你的答案对不对，但我的方法和你的不同。佩服你的思考，感谢你的观点！

（全班学生会心地笑了。）

生我猜和奇偶性有关。

师你是我的知音。想学会这个魔术吗？

生（众）想！

师那我们就一起来研究“和的奇偶性”。学好了今天的知识，大家就能揭开比魔术更精彩的谜底了！

［设计意图：利用魔术导入，可以有效地吸引学生的注意和兴趣，使得学生在惊叹于魔术神奇的同时，对新知的探究欲望

也油然而生。］

（二）简单入手，分类举例

师你是怎么理解“和的奇偶性”的？

生几个数相加，和可能是奇数，也可能是偶数。

师这位同学很厉害，说“几个数相加”，而不是“两个数相加”。“几个数”可以是

——

生3个数、4个数……100个数、无数个数。

师噢！这个问题可复杂了，你准备怎样研究？

生先列一些简单的数连加，算一算、找一找有没有什么规律。

生还要再找一些例子来验证。

师那你准备从几个数相加开始研究?

生（众）两个数相加。

师智慧的选择！凡难事都要从最简单的开始。

（投影出示一位学生的课前研究单，如图4所示。）

师这位同学从不同的算式中发现相同的特点，并进行了验证。

生我要补充，还有“奇数+奇数=偶数”“偶数+偶数=偶数”。

（一半左右的学生附和这位学生。教师投影出示这位学生的课前研究单，如图5所示。）

师一部分同学发现了1种情况，一部分同学发现了3种情况。这就需要我们反思：怎样才能找全？

生应该先想一想两个数相加一共有几种情况，然后再分类举例。

师他找到了我们需要改进的关键。没有找全的同学来说说两个数相加一共有几种情况？

生“奇数+奇数”“奇数+偶数”“偶数+偶数”3种。

师想了这个问题，再举例，我们就都能

找全了。

（教师板书：分类举例。）

［设计意图：从学生真实的学习起点出发，关注差异性资源，让学生在不知不觉中经历从无序举例到有序举例的学习过程，体会分类列举的思维价值，积累有序列举的方法经验，为之后学生自主探究多个数之和以及探索积的奇偶性做好准备。］

（三）数形结合，推理验证

师通过分类举例、猜想、验证，我们获得了两数之和的规律。（板书：奇数+奇数=偶数、奇数+偶数=奇数、偶数+偶数=偶数）这些规律千真万确吗？真的找不出一个反例？

生（激动地站起身）有。我认为奇数加偶数也能等于偶数，如3+4=7。

生（众）7不也是奇数吗？

（这位学生不好意思地坐下了。）

师虽然举的例子错了，但是积极开动脑筋、找反例的行为值得肯定。

（学生继续思考，但找不出反例。）

师我们来换种方法找反例，用图形。（投影出示图6、图7）如图是“4+6”的情况。偶数就是2的倍数，两个两个地圈，没有多余的，说明和是偶数。如果换成其他的偶数？两个很大的偶数呢？

生和还是偶数。只要是偶数加偶数，两个两个地圈，一定不会有多余的。

生（众）对的。

师（投影出示图8）奇数加奇数的情况会怎样？

生（上台作图，结果如图9所示）两个两个地圈，多余的两个正好也圈起来，和是偶数。

师换成其他的奇数呢？

生每个奇数都会多余1个，正好又是一个2，所以结果都是偶数。

师（投影出示图10）奇数加偶数怎么会是奇数呢？

生（上台作图，结果如图11所示）两个两个地圈，一定会多余1个。

生（补充）偶数一定没有多余的，但奇数一定会多余1个，所以奇数加偶数的和一定是奇数。

师同学们现在不仅能解释具体的例子，还能推理到一般的情况，真了不起！在验证规律时，我们需要像这样，从一个算式想到更多。

［设计意图：通过数形结合的方法，让学生借助几何直观想象、推理，进一步理解两数之和的奇偶性，一方面能促进学生的数学思考，另一方面能有效地培养学生借助几何直观进行推理的能力。］

（四）自主迁移，深入推广

师你准备怎么研究多个数相加的和的奇偶性？

生先研究3个数的和，再研究4个数的和……

生也分成3类：加数都是偶数的，都是奇数的，有奇有偶的。

师两种方法都可以，我们就采用分3类列举的方法吧。（板书:加数为偶、加数为奇、加数有奇有偶）不过这次我们从猜想开始。第1类，加数全是偶数，和是——

生偶数。

师一口咬定，那就验证吧。小组合作，先约定一下各验证几个数相加的和，再交流验证的结果。

（学生尝试，教师巡视。）

生我算了3个偶数相加，结果是偶数。

生我算了5个偶数相加，结果是偶数。

生我算了16个偶数相加，结果是偶数。

师（指着一位学生）老师看到这位同学只写两个就不愿意写了。请你说说你是怎样思考的。

生因为偶数是2的倍数，无论多少个2的倍数，和还是2的倍数。

生（补充）两个一圈，不会有多余的。

师能用刚才的经验来推理，高明。

师第2类，加数全是奇数，和是——

生3个奇数相加是奇数。

（教师板书：奇+奇+奇=奇。）

生4个奇数相加是偶数。

（教师板书：奇+奇+奇+奇=偶。）

生奇数个奇数相加是奇数，偶数个奇数相加是偶数。

师说慢一点，什么是奇数个奇数？

生比如，加数有3、5、7、9……个。

师（板书：加数的个数是奇数，和是奇数；加数的个数是偶数，和是偶数？）请你们小组合作验证。

生我写了5个奇数，和是奇数。

生我写了6个奇数，和是偶数。

生我写了19个奇数，和是奇数。

生我不是算的，我是这样想的：所加的数都是奇数，每个数都会余下1个，有多少个奇数就会

余下多少个1；而奇数个1的和是奇数，偶数个1的和是偶数。

（学生自发掌声。）

师第3类，有奇有偶，猜想和是——

生看奇数的个数，偶数的不用看的。

生（补充）对于有奇有偶的，先分成两部分，一部分是奇数，一部分是偶数，偶数相加和是偶数，所以只看奇数的个数；奇数的个数是奇数时和是奇数，奇数的个数是偶数时和是偶数。

（该生展示验证算式：

师很好！就是看加数中奇数的个数。

［设计意图：有了探究两数之和奇偶性的经验，学生自主探究多个数之和的奇偶性就水到渠成了。这里，让学生自主猜想、验证、推理，通过思维的碰撞、方法的开放，

使他们提高了学习的热情，体验了成功的快乐。］

（五）提炼内化，反思总结

师（完善板书，结果如图12所示）看黑板，要记住今天的结论可不容易。找找相互之间的联系，看能否去掉一些。

加数为偶加数为奇加数有奇有偶

分类举例2个偶+偶=偶奇+奇=偶奇+偶=奇

猜想多个和是偶数奇+奇+奇=奇看奇数的个数

验证奇+奇+奇+奇=偶

推理加数个数是奇数，和是奇数

加数个数是偶数，和是偶数

生“奇+奇+奇+奇=偶”相当于“奇+奇=偶”“奇+奇=偶”“偶+偶=偶”，可以擦掉。

生“奇+奇=偶”，属于奇数的个数是偶数，和是偶数中的一种，可以擦。

生“奇+偶=奇”，属于奇数的个数是奇数，和是奇数中的一种，可以擦。

生“偶+偶=偶”，属于加数为偶数中的一种，也可以擦。

……

（学生越“擦”越起劲，最后的板书如图13所示。）

师非常好！这就是我们今天学习的最重要的方法和结论。

［设计意图：擦去一些结论，其实是为学生

呈现理解、建构知识的过程。不管学生之前是怎样生成

这些的，留下了哪些“思维轨迹”，在这个过程中

，学生从繁到简地化归、厘清思路，

都会使本课的方法和结论澄明、透彻。］

（六）揭密启思，拓展延伸

师该是魔术揭密的时刻了！

生耶！

师（投影出示图14）我们先只看一行。做“长方形翻”，每次总是两张，不管你翻多少次，和总是——

生偶数。

（教师投影出示图15。）

师但是，如果你在这一行翻了自己最喜欢的一张牌，和就是——

生奇数了。

（教师投影出示图16。）

师其他几行呢？

生偶数。

生哦！知道了，只要找奇数就可以了。

师为什么找奇数？

生翻“长方形”，在同一行或同一列里，每次都是两张一翻，但是最喜欢的牌只有一张，所以它所在的行或列里就是：偶+偶+…+偶+奇+偶+偶+…+偶=奇。不管你翻多少次“长方形”，偶数不看，奇数只有一个，和一定是奇数。

师掌声送上！不过这个魔术可不只是这么简单哦，还可以自己创造升级版的：同学们可以事先翻几张正面朝上，再来玩这个魔术。它可是变化无穷的，但奥秘还是和的奇偶性。

（学生惊讶、好奇。）

师这节课我们研究了什么？除了和的奇偶性，还可以研究什么？

生积的奇偶性。

生差、商的奇偶性。

师乘法和加法关系最紧密，老师建议大家先自主研究积的奇偶性。你准备怎样研究？

生（脱口而出）分类、举例、猜想、验证。

生从两个数到多个数。

师看来同学们找到研究的法宝了。下课！

［设计意图：揭秘开头的魔术，满足了学生的好奇心，也使得学生认识到本课所学内容的价值，感受到了数学的“威力”。引导学生进一步拓展延伸，既顺应了学生的思维，也引入了下一节课的内容，更重要的是，帮助学生进一步体会到有序思维的方法支撑。］

【教学评析】

“和与积的奇偶性”是苏教版小学数学五年级下册新增的结合《因数倍数》单元的一个主题探索内容，旨在激发学生的探究兴趣，培养学生的探究习惯，并加强学生的数学思考能力。

本节课中，教师突破教材的限制，从学生已有的知识经验出发，通过趣味情境的设置、思维方法的引导，让学生自然地展开探究，取得了良好的教学效果。

一、尊重学生的学习起点

通过前置研究，教师对学生的学习起点作了透彻的分析。多少学生能有序地分类思考？他们在归纳验证的过程中有哪些特点？他们在自主探究时又有哪些不足？教师发现，学生在举例归纳时倾向于用简单的数据，而在举例验证时倾向于用复杂的数据；不少学生举例时选择的是同一类数据，如都是奇数加奇数

、

都是奇数加偶数等，导致获得的结论不全面；还有一些学生举例时选择的是有特殊关系的数据，如相邻两数、相同的数等，导致获得的结论不具有一般性（过于特殊化）。通过归类整理，教师发现

了学生中普遍存在的问题，即没有思考“两数相加一共有几种类型”而盲目举例。

因此，在教学中，教师通过让学生相互补充，并引导学生反思为什么会有遗漏、片面，从而突出重点解决“先分类、再列举”的问题。同时，教师通过评价肯定了学生自主探究中的亮点，从而以学生的原有知识经验为基础逐渐改善了学生的探究习惯。

二、激发学生的探究欲望

当下，获取信息的渠道很多，使得学生见多识广，不再会因为几张幻灯片或彩色图就“眼前一亮”了。基于这样的现实，教师要不断地创新，才能让教学充满趣味和活力。而数学魔术或游戏，是让数学课堂充满迷人色彩，焕发神奇魅力，并唤起学生学习兴趣，激发学生探究欲望的有效手段。

因此，本课的教学以一个魔术贯穿始终，并巧妙地融入了数形结合的思想，给予学生数学探究和推理有力的支撑，从而成功地激起了学生的思考热情，较好地发挥了学生的认知潜能。可以看到，这样的学习兴趣和探究欲望一直延续到课后——下课了，很多学生还缠着教师玩升级版的魔术。

三、培养学生的探究习惯

本课的教学中，课堂上的探究，虽然是学生自主完成的，但教师始终在一旁进行思维方法上的引导，目的

在于让学生少走弯路，更重要的是让他们在“错误—纠正”“阻碍—突破”的过程中掌握思考的方法，养成探究的习惯——怎么让思维更加有序，该从哪些基本的环节或方面入手。

此外，自主探究的过程应该具有一定的开放性，教师要允许学生进行不一样的表达，甚至生成不一样的结论。因此，探究结束时需要回顾梳理，反思建构。这是探究教学中，要让学生掌握和养成的一个重要的习惯和方法。因此，本课的教学中，当探究告一段落，教师和学生面对着满满一黑板的、探索过程中留下的“思维轨迹”时，教师提出了一个想法：看哪些可以合并、擦去。这其实是在引导学生自我反思、自主建构。在这个过程中，学生回味每一个观点的获得，居高临下地再次理解，并从观点之间的关系入手，剪去细枝、留下主干。通过抽丝剥茧、层层剖析，在相互转化、相互包含的认识中，结论越来越清晰。由此，学生在课下的独立探究中，会慢慢养成随时回顾、反思，为下一步探究理清思路的习惯。