教学：从学生的思考出发——《错位相减法的应用》教学诊断与改进

常国庆

（江苏省扬州市新华中学，225009）

布鲁纳曾经说过：“探索，是数学教学的生命线。”教学中，只有让学生经历自主探索的过程，才能最大限度地激发和调动学生的积极性和求知

欲；只有让学生自主发现知识，才能有效地促进学生完成意义建构，真正掌握知识。因此，有效的教学，应该从学生的思考出发，通过追问依据、提示思路等引而不发的手段，帮助学生厘清知识的来龙去脉，刨出问题的源流变化，发掘蕴涵的思想方法。

下面就以“数列求和”内容的第2课时《错位相减法的应用》为例，谈谈如何从学生的思考出发，改进和调整教学。

一、教学初设及诊断

本课是在学生已经学习了公式求和法、分组求和法和裂项相消法的基础上进行教学的，重点内容是通过错位相减法求形如{anbn}（其中

{an}是等差数列，{bn}是等比数列）的数列的前n项和。出于将问题简单化的考虑，笔者在一个班教学时，设计了如下过程——

师考虑到式子中仍有等比数列的影子，此题可否类比等比数列求和公式的推导方法，即用错位相减法求解？

（教师详细板演例题的解答过程。然后，追加一道巩固练习并请学生板演：已知an=2n－1，求{nan}的前n项和。）

……

（课尾，教师布置作业：均为类似的应用错位相减法求解的题目。）

本以为经过这样的课堂讲解与训练，学生作业的正确率会比较高，可是结果却令人大跌眼镜：全班的正确率竟不到10%。学生的错误归结起来主要有三种：（1）第一步变形时搞不清楚两边究竟应该乘什么，有的学生乘了公比的倒数（即提取了公比）；（2）错位相减时产生了混乱，不知道如何错位或对相减后得到的等比数列不知道如何求和；（3）最后的化简出错，功亏一篑。

针对学生的问题，笔者认真地进行了反思，发现问题绝不是学生计算能力差这么简单。事实上，除了上述第3点可以用学生的基本功不扎实来解释外，上述第1、2两点的根本原因是学生对方法本身没有理解、纯粹模仿。由此，笔者回顾整个教学过程，发现对例1的处理确实欠妥：在学生给出他们的想法之前，教师已经先入为主地提示了类比等比数列求和的方法，因而限制了学生的思路，同时也让学生感觉很突兀，不明白为什么要作这样的变形，自然也就无法理解错位相减法的基本思路了。如此想来，出现上述反馈结果也就不奇怪了。

二、教学改进及反思

基于以上诊断，笔者在另一个班教学时，设计了新的过程——

师请大家自己先试试看怎么解。

（学生独立思考、解答。教师巡视，不作任何提示。）

师（对着一位学生）说说你的解法，没做到底也没关系。

（该生沉默。）

师你为什么将S作这样的变形？

生为了凑出等比数列的和，然后用等比数列求和公式求解。

师好想法。现在前面已经如你所愿，为什么不将这个思路进行到底呢？

（该生思索。）

师很好。其实这个解法的根本思想还是化归，即将一个陌生数列的求和转化为熟悉的等比数列的求和。同学们还有其他解法吗？

（学生思考一会儿后仍不得法。）

师刚才的方法实质上是将每一项中的“n”进行拆分转化，那么，可否试试从“2n”入手进行变形呢？前后两项之间有什么联系?

生后项比前项多乘一个2，可以从第二项开始提取2，但是提取之后转化不了。

师那就反过来想，不提取2，反而再乘一个2试试？

师等比数列多少项的和?

生n项。

师很好！注意，是从0到n-1哦！还有一个“尾巴”：-n·2n。

（教师小结错位相减法的几个要点，并对解题过程进行详细的板书。）

……

（课尾，教师布置作业：均为类似的应用错位相减法求解的题目。）

改进后的教学中，笔者将例题换成了一道公比更简单、特征更明显的问题，并让学生自主探索，

然后从

他们的思路出发，对其进行依据的追问和思路的提示，帮助他们厘清想法、深化认识。经过这样的引导与讨论，学生作业的正确率提高了许多。通过谈话，笔者发现，学生基本理解了错位相减法的来龙去脉以及为什么要乘公比、为什么要错位等问题，而不是仅仅停留在感叹这一方法的精妙

上；同时，不少学生也进一步感受到了数学的理性精神，即“要理由”的价值。

当然，尽管其过程很繁琐，但不可否认其正确性。通过谈话，笔者了解了他们的想法：“因为想不到，所以搞不清，

也就不想用！”由此，笔者也进一步认识到

，对学生而言

“不是老师教的，而是自己想的”

方法才是好方法。

正如布鲁纳所说的“知识的获得应该是一个主动的过程”，学习者不应该是信息的被动接受者，而应该是知识获得的主动参与者。因此，不管在哪个年级、哪个科目的课堂中，教师都应该“以生为本，创造生成”“大胆放手，尽量跟走”：学生思路通畅，教师自然要搭建让学生呈现智慧的平台；学生思维受阻，教师则应该借机引导，领着学生突破难点；学生认识出错，教师更应该借机质疑，帮助学生走出误区。