让学生思维的火花绽放——一道课本例题的探究式教学实践与思考

湖北省远安县第一高级中学（444200） 谭玉宝

1 教学背景

探究式教学是20世纪50年代由美国芝加哥大学的施瓦布教授在“教育现代化”中提出来的。探究式学习是为学生创设学习情境，并在教师指导下，通过发现问题、调查研究、动手操作、合作交流等探究性活动，以获取知识技能的学习过程。

例如，《不等式》这一章教学中，有不少不等式证明的例习题都是进行探究式学习的素材。其中有一道题是：“求证：当周长相等时，圆的面积大于正方形的面积”。笔者在教学这个例题时尝试了如下探究式教学法。

2 创设情境 层层设问 教给探究方法

2.1 变题训练 激发探究

变更问题：若用1根长为L的铁丝，围成正方形或圆形，哪个面积大？并证明你的结论。

师：很好！那么用什么方法比较Sl与S2的大小呢？请大家分组讨论，然后各组派代表上台板演证明方法，要求各组代表的证明方法尽量互不相同。（讨论合作，复习不等式证明的几种方法）

4名学生分别上台展示了差值比较法、商值比较法、分析法、综合法，然后教师进行点评。按照常规，这个例题的教学到此就可以结束了，如果那样，学生思维刚刚燃起的星星之火就熄灭了，不仅思维的火花得不到绽放，同时，也失去了一次很好的挖掘教材功能并进行探究式学习的机会。

2.2 寻找背景 应用探究

师：这个问题的结论有什么实际背景或实际意义？

生：用长为L的篱笆围成一个园子，围成圆形比围成正方形的面积大，即围成圆形更经济实用。

生：用长为L的铝合金做窗户的外边框，做成圆形比做正方形的面积大，透过的光线更多。

生：横截面为圆形的钢管比横截面为正方形的钢管在单位时间内通过的水量多。

师：大家说的真好！说明大家平时很善于观察，能够将所学数学知识应用于实际中。

生5：既然这样，实际上我们看到的为什么并不都是圆形，还有正方形或其他图形呢？

师：这个问题提得很好！是啊，为什么没有全部制造成圆形呢？大家讨论讨论，说说是什么原因呢？

联系到学生身边的事例，大家的探究活动氛围达到了高潮，相互交流十分热烈，最后达成共识。实际建造某个物品时，不只是应用数学知识，还要考虑所用材料的物理、化学性质，建筑学知识，美学知识等方面的因素。

2.3 动手操作促进探究

在上课之前笔者准备了1根铁丝，这时，笔者让学生动手操作，围1个图形，能围成几种什么图形呢？

生：可以围成三角形、四边形、圆、椭圆。

生：还可以围成其他多边形或随便围个圈。

师：同学们围成的图形可以分成两大类：一是多边形，二是封闭曲线型。那么，所有这些图形中，哪种图形的面积最大呢？

生：我猜是圆形。

师：他的猜测是否有道理呢？先看围成三角形时，最大面积是多少？即周长为L的三角形何时面积最大？最大面积与正方形比较如何？

师：外接圆半径R并不是一个常数，所以这样求不出最大值。三角形中与3边有关的面积公式还有哪个呢？

师：能记住这个公式非常不容易！好，请同学们利用这个公式求一下S3的最大值吧。

2.4 启发猜想 结论探究

伟大的数学教育家波利亚在《数学与猜想》 -书中指出：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的，只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么，就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”他还强调教学必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试，并向教师呼吁：“让我们教学进行猜想吧！”

师：通过对三角形和四边形的研究，大家能发现什么规律吗？

生：围成多边形时，当且仅当围成的是正多边形时面积最大。

师：很好！这是一个猜想，根据目前所学知识，我们无法求任意多边形的面积，所以这个猜想目前还无法证明，留着同学们以后去研究吧（为后续学习作一个铺垫，增强学生求知欲）。那么，当围成正多边形时，是不是边数越多面积越大呢？

生：我猜想应该是这样的，因为周长为L的正三角形的面积<正方形的面积<正六边形的面积。

师：这位同学虽然举了3个例子，但这还是一个猜想，如何证明这个猜想的正确性呢？

于是，只要证明正n边形的面积S（n）（n≥3）是n的增函数。

师：这样又出现一个新问题，即如何证明这个函数是增函数？试试看吧。

这时，有学生在下面说：取值——作差——变形——判断。由于这类问题对大家来说比较熟悉，学生迅速在草稿纸上演算。过了片刻，大家发现差的分子无法用三角公式变形，符号也不能确定。这时笔者才告诉大家，这个函数的单调性不宜用初等数学方法来证明，等到学习了导数后，再来证明它是一个增函数。在此先暂时承认这个结论，于是就有：周长为定值的正多边形中，边数越多的多边形面积越大。

师：当用长为L的铁丝围成一个封闭曲线图形时，很显然，围成圆时面积最大。那么正n边形的面积Sn是不是小于圆的面积呢？

至此，得到了一个非常重要的结论：周长为定值的一切平面图形中，圆的面积最大。

师：古代数学家毕达哥斯曾经说过的：“一切立体图形中，最完美的是球；一切平面图形中，最完美的是圆。”今天我们沿着科学家的足迹，通过不断探索也得到了这样一个结论，说明同学们都具有科学家的思维和品质。

3 教后反思促进探究深入持久

3.1 充分预设保证探究资源的有效利用

探究资源一方面来自于课本，课本中有关的探究素材，教师在备课时必须将其挖掘出来，教学时进行适度的拓展，弄清哪些需要精心设计，哪些只要点到为止，哪些必须加以回避；另一方面来自于学生，包括学生的参与态度、知识水平、情感意志、合作能力等。教师在备课时必须知道设计什么样的问题才能激发学生兴趣，采取什么方式才能让学生通过自主探究或合作交流去发现规律，哪些环节教师是组织者，哪些环节教师是引导者，哪些环节教师是参与者，备课时就要精心设计出让每个学生都有所收获的活动过程。

3.2 激励评价 保护学生探究热情

在探究活动中，无论学生提出的问题幼稚或深奥，教师都不能嘲笑或置之不理；无论学生回答的问题多么不着边际，教师都要设法找到其中的闪光点并加以鼓励，保护好每一个学生的探究热情。营造民主、和谐、宽松的课堂氛围，构建师生、生生互动的平台，是探究活动顺利进行的必要条件。

3.3加强学习 促进自身素质不断提高

探究式教学中教师要更新观念，将课堂教学由过去的自我陶醉式变为师生合作交流式；教师要当好活动的组织者和引导者，在工作中要不断培养自己的组织能力；既要激发学生参与探究，又必须具有亲和力；学生提出的问题是否有价值或探究的成果是否正确，都需要教师现场及时评价。这就要求教师必须具有较高的专业水平和应变能力，有些学生不知道的内容，教师必须心中有数。因此，教师必须加强教育教学理论和专业知识学习，提高自身素质，使探究式活动更深入、更精彩。

收稿日期：2014-12-28