寓教于乐：走向课堂教学的“三度”——一堂《古典概率》习题课的教学感悟

文卫星（上海市七宝中学，201101）

“x、y、z，枯燥无味；高考不考，坚决不摸”，这从一个侧面反映了高中数学教学的现状。学生学习数学是迫于高考的无奈，这与机械地填鸭式教学有很大关系——学生学到的只是机械记忆和操作的知识与技巧，缺乏应有的数学思想和数学文化的滋润。部分学生进入高中后，就不断地感受到数学学习的挫折和失败，不仅体会不到数学学习的乐趣，还逐步丧失了数学学习的自信心。

实际上，数学学习是一个充满思辨的思维过程，推理、运算步步有据，形成逻辑“链条”；看似堆砌的符号、数字、图形及法则，其实构成了博大精深的数学思想方法，这些思想方法形成了丰富多彩的数学文化。课堂教学不仅要教知识结论和方法步骤，还要讲其中的推理、计算过程，更要讲是怎么想到这样推理、计算的，以及在这一过程中所展示的智慧。数学教学要教给学生应用所学的书本知识解决日常生活中的实际问题的能力，让学生体会数学的应用价值，感受学习数学的意义，享受成功的乐趣，并培养奋斗的意志与毅力，通过数学教育完善学生的人格。诚然，这些目标不是某一节课所能承载的，但是，教师的任务就是让每一节课发挥其应有的作用。

以下是一节《古典概率》习题课，旨在通过应用古典概率知识解答日常生活中一些有趣的、学生感觉得到结论而又说不清楚道理的问题，让学生学会把一些随机现象转化成等可能基本事件的组合，从而提高数学建模能力和数学应用意识，感受数学思想与数学文化的魅力，并潜移默化地养成“遇事讲理性”的习惯、性格。其间，除了运用了概率知识，还根据例题的特点融入了数学文化，让学生感受到学习的乐趣，充分体现了数学的“育人”价值。

一、教学设计及简要过程

本节课是校内公开课，授课对象为新疆“内高班”（内地省市一些学校根据国家政策招收新疆学生组成的高中班）“民考汉”（少数民族学生用汉语参加中考）的学生，少数学生基础较好，但学生之间差异较大。

【问题1】 你会参与吗？

在一次庙会上，有一项摸奖活动，规则如下：布袋内放20个乒乓球，其中10分球10个，5分球10个；顾客免费摸奖，从袋内摸出10个球，按其累计分值给奖。分值与奖品的对应情况如下：一等奖，100分，送彩电一台(价值2800元)；二等奖，50分，送音响—套(价值1800元)；三等奖，95分，送电热器一个(价值120元)；四等奖，55分，送绒毯一条(价值100元)；五等奖，90分，送衬衫一件(价值30元)；六等奖，60分，送内衣一套(价值30元)；七等奖，85分，送毛巾一条(价值3元)；八等奖，65分，送香皂一块(价值3元)；九等奖，80分，送牙刷一支(价值1元)；十等奖，70分，送餐巾纸一包(价1元)。如果摸出75分，就要按30元的“出厂价”购买一瓶洗发露(实际价值10元)。

（1）如果你在现场，你是否会参与摸奖？为什么？

（2）计算各等奖获奖的概率，如果每天有100个人摸奖，请估计摊主的盈亏情况。

教师设置一个情境引出本题：

这是一个多年来流行在江南一带庙会的“摸奖”活动，这样的活动你会参与吗？请理性计算。

对第（1）题，部分学生说“会买”，理由是“随机抽取的结果共有11种，其中10种有奖，干嘛不试试”；部分学生说“不买”，理由是“肯定有诈，如果赔本，他们天天在这干嘛”，但是“诈”在哪儿，一时又说不清楚。这样，学生的热情就被激发起来了，顺理成章地进入第（2）题。

在教师的引导下，学生利用计算器，先求得各等奖获奖的概率：一、二等奖获奖的概率均为，三、四等奖获奖的概率均为；同理，五、六等奖获奖的概率均约为0.01096，七、八等奖获奖的概率均约为0.07794，九、十等奖获奖的概率均约为0.23869，摸出75分的概率约为0.34372。再求得有100个人摸奖时各等奖获奖的理论人数：一、二等奖获奖的理论人数之和约为2×100×0.0000054=0.00108，三、四等奖获奖的理论人数之和约为2×100×0.00054=0.108，五、六等奖获奖的理论人数之和约为2×100×0.01096=2.192，七、八等奖获奖的理论人数之和约为2×100×0.07794=15.588，九、十等奖获奖的理论人数之和约为2×100×0.23869=47.738，摸出75分的理论人数约为100×0.3437=34.37。最后计算摊主的盈余情况：前四个奖项是小概率事件，可以忽略，可以认为摊主需付奖金约为2×30+16×3+48×1=156（元），而摊主收入约为34×20=680（元），故摊主净赚约为680-156=524（元）。

这时，有学生舒了一口气，说明学生明白了“诈”在何处，一个看似美丽的故事就此在学生心中终结了。

教师以一首打油诗结束本题教学：

花言巧语不可听，看似馅饼实陷阱，辨别真伪靠数学，于己为民你能行。

［育人价值：提示学生面对形形色色的商业活动，要想不被忽悠或识破骗局，必须利用数学知识对其进行分析，深入本质，揭示真相、还原事实，这正是数学理性思维的价值所在。］

【问题2】 谁更有道理？

张先生在果品店打算买箱梨，问卖主质量如何，卖主说一箱（设为100个）顶多有四五个坏的。张先生随手打开一箱，随机抽取10个，心想不多于2个坏的就买，可是他发现有3个是坏的，于是张先生对卖主说：你这箱不止5个是坏的。卖主反驳说：我的话不会错，也许这一箱就3个坏的，碰巧都让你看见了。请张先生和卖主谁更有道理？

教师设置一个情境引出本题：

市场上买卖双方发生争执司空见怪，如何化解矛盾？应以理服人。

学生指出：解答本题的关键是理解何为“有道理”。教师引导，得出要把实际问题转化成概率问题：假设100个梨中有5个坏的，从中随机抽取10个，坏的多于2个的概率是多少？

然后，教师介绍：什么是小概率事件，没有统一标准，但是一般地，可以以发生的概率小于0.01或0.05为标准。使学生认识到：在这里，坏的多于2个是小概率事件，几乎不可能发生；而本题中，张先生已经发现3个坏的，表明几乎不可能发生的却发生了，说明张先生说的有道理，卖主应该是撒谎了。

最后，教师送学生一副对联：

（上联）卖家应诚实生财有道，（下联）买家防忽悠理性分析，（横批）计高一筹。

有学生把横批改成：

以计算对算计。

在逗得全班一乐同时，也让学生明白了掌握一些数学知识，便能在关键时候用理性方法维护自己的合法权益，甚至维护社会的公平正义。

［育人价值：提示学生面对日常生活或经济活动中的一些小纠纷，解决的途径不是“抬杠”，而是以理服人，这也是法制思想的具体体现，但是，这个“理”需要数学知识作为坚强后盾。］

【问题3】 机会相等吗？

已知在4个阄中仅有1个有彩（称为彩阄），4人依次各抓1个，若后抓者不知道先抓者是否抓到彩阄，问这样抓阄公平吗？

教师设置一个情境引出本题：

轮流抓阄（抽签）是日常生活中的常见现象，从儿童游戏到世界大赛，我相信大家都有过类似的经历，你是不是觉得先抓（抽）的占便宜呢？

解答本题之前，一位同学说：“小时候有一次参加比赛需要抓阄，我确实想先抓，但老师说先抓、后抓机会是一样的，直到现在我也不完全明白其中的道理。”

教师趁势给出一首打油诗：

抓阄本是平常事，机会均等谁都知，理性思维问究竟，概率让你不生疑。

对此，教师又用一首打油诗作总结：

以斑窥豹眼力好，由此及彼规律找，一般蕴含特殊中，学习需要勤思考。

［育人价值：提示学生面对一些熟知的现象，不仅要知其然，还要知其所以然，更要善于从中总结规律，为此，少不了要利用数学知识。］

课后，学生反映这节课挺实用，生活中常见的一些现象得到解释，积郁多年的问题得以化解，高兴之情溢于言表。

二、课后感悟

数学课不仅要有适度的知识（不是量越大越好，题越难越好），还要有一定的思想高度（在哲学思想指导下的数学思想）和文化厚度（展示与本课相关的数学文化）——简称“三度”，即知识适度、思想高度和文化厚度。这样的数学课最能体现“发展思维能力，培养理性精神”的数学育人特色。以下从“三度”的视角谈一些本节课的教学感悟。

（一）知识适度

概率是应用性很强的数学分支，应用概率知识解释日常生活中的现象是中学学习概率的目的之一。作为古典概率的应用，3个例子虽然涉及的知识点不难，但是问题的背景各不相同，把问题中的总体试验和发生事件分解为等可能的基本事件（建模），以便列式解题，还是有一定困难的，这对学生的分析问题能力要求还是不低的，尤其是对新疆“内高班”的学生。

问题1虽然题目条件和解题运算都比较长，但是理解题意难度不大，从iPad上的结果，可以发现学生列式没有问题，再利用人手一台的计算器（上海市高考可以使用计算器），很快就得到结论，极少数学生在最后一个环节反应有些慢。问题2虽然题目条件比问题1短，但是对理解题意的要求比问题1高，而在准确理解题意的基础上，求发生事件包含的基本事件数，还要分类求和，有一定的难度，从iPad上的结果，可以发现少数学生出错。问题3题目条件最短，理解题意也不困难，但是在求第2个及以后抽签者抽中的概率时，部分学生觉得困难，从iPad上改动的痕迹，可以很清楚地看出学生的思维过程。一旦问题3搞清楚了，两个推广也就不困难了。

（二）思想高度

对“思想高度”，不能望文生义：以为要“高不可攀”。其实，思想高度是落实在课堂教学的各个环节中的，多数情况下表现在教师的一两句点睛的话语中。一堂数学课不可能包含所有的数学思想方法，但是要能在教学中把涉及的思想方法以适当的方式揭示出来，并让学生有所体会。

比如，对于问题2，在理解题意时，体现了转化的思想——把自然语言转化为数学语言。转化思想是明显的，而且解答数学问题常常是三种语言（自然语言、符号语言和图形语言）的相互转化。转化应该是等价的，引申到社会活动中就是灵活变通、创造条件解决新问题。又如，问题3的推广是“由特殊到一般”这一哲学思想在数学上的应用。哲学对数学的指导往往是隐形的，特别需要教师适当的点拨。

（三）文化厚度

数学本身就是文化的一部分，数学课中体现数学文化是天经地义的。数学文化没有固定的模式，可能由于教学内容和教师个体等因素而有较大差异。数学文化的作用是让学生在愉快的情境中学习数学，使学生不仅学到数学知识和思维能力，还能感悟数学的美，提高学习数学的兴趣。脑科学表明，左脑主管收敛思维，即逻辑分析、抽象概括、演绎推理等理性思维；右脑主管发散思维，即直觉猜想、形象想象、感受体验等感性思维。一般认为，理科教育能开发和提升左脑思维能力，而文科和艺术教育能开发和提升右脑思维能力。由此可知，将数学文化渗透在数学教学中，利于左右脑协调，对学生的全面发展和素质提升很有益。

本课中的3个问题来源于生活，不少学生对相关现象说不清、道不明，处于欲罢不忍、欲进不能的状态。在师生互动过程中，教师亲切、和蔼的教态，加上打油诗和对联的运用，使得课堂有浓郁的文化氛围，寓教于乐。3个问题都有一定的教育意义：问题1的总结中“蛊惑之言不可听，看似馅饼实陷阱”对新疆“内高班”的学生是双关语，除了就事论事，还提醒他们要坚决抵制“三股势力”的蛊惑之言，自觉维护民族团结。问题2教育学生要理性对待生活中的不同观点，遇有分歧要以理服人，而数学是“讲理”的好工具，特别是处于大数据时代，用概率与统计的眼光看世界是必然趋势。问题3教育学生不仅要知其然，还要知其所以然，即使对熟知的问题，也要敢于质疑，勇于探索。结合数学学科特点教书育人，是数学教师份内的事，不仅不会削弱教学质量，反而会使学生觉得学习数学也能享受到一份乐趣。

思想高度和文化厚度，其实就是“情感、态度与价值观”目标在数学教学中的具体体现。如果能在这方面做得好一些，学生就会站得更高、看得更远、学得更实，我们的课堂就会更智慧。