让问题“外显”——一道高错误率习题的教学

吴静

（江苏省江阴市澄江中心小学，214400）

苏教版小学数学六年级下册《百分数的应用》单元有这样一道关于纳税的习题：

2005年我国公布了新的个人收入所得税征收标准。个人月收入1600元以下，不征税。月收入超过1600元，超过部分按下面的标准征税。

不超过500元的5%

超过500～2000元的部分10%

超过2000～5000元的部分15%

……

李明的妈妈月收入1800元，爸爸月收入2500元，他们各应缴纳个人所得税多少元？

这是学生在《百分数的应用》单元的学习中遇到的最复杂、错误率最高的一道题。解决这道题，需要把握好两个关键点：一是个人所得税的起征点是1600元，超过部分才要按标准纳税；二是对超过部分应缴纳的个人所得税，要分段思考。在教学实践中我发现，几乎没有学生能离开教师的引导，凭借自身的努力准确把握这两个要点。学生中最常见的错误解法是：

妈妈：1800-1600=200（元），200×5%=10（元）。

爸爸：2500-1600=900（元），900×10%=90（元）。

显然，学生算出了超过部分的收入，但没有根据题意分段计算个人所得税。

那么，出现这一错误的原因是什么呢？从表面上看，有以下两个原因：（1）错误归类。除了求个人所得税，求营业税、消费税等其他税时都是把总额看作单位“1”的量，直接乘税率。受习惯思维的影响，学生简单地将求其他税的模式套用到求个人所得税中，直接将超标收入和税率相乘。（2）误读标准。如将“超过500~2000元的部分”误读成“超过500~2000元”。也就是说，学生没有从“超标收入”这个整体上去理解“超标条目”，将每个超标条目作为这个整体的组成部分，而是人为地将各个超标条目割裂，简单地将超标收入和“超过500~2000元的部分”等进行对应，然后直接乘税率去求个人所得税。而从本质上看，出错的原因是学生缺乏相关的生活经验（注：2011年我国又颁布了新的个人所得税征收标准，教材因为修订规定的原因不能及时更改，教学中要向学生说明），导致了对题意的浅表化理解。

那么，教学中应如何帮助学生深入理解题意，并探索正确的解题思路呢？我的做法如下：

首先，设置矛盾，使问题呈现“清晰化”。

心理学家认为，学生的学习是一个不断经历“平衡—不平衡—平衡”的心理过程。当学生发现原有的认知结构在与新知识发生作用的过程中出现了不匹配、不适用，就会产生认知的不平衡，进而激发起进一步探究的欲望。上述案例中，学生若没有发现已有的求其他税的方法和所遇的求个人所得税的方法之间的不一致，就不可能深思和怀疑原有的思路，并积极主动地探索新的解题方法。教学中，教师要通过设置矛盾，让内隐的问题“浮出水面”。

于是，我对习题中妈妈和爸爸的收入数据进行了修改，把“1800元”、“2500元”分别改为“2090元”、“2110元”——修改后的两个数据和起征点1600元的差都很接近一个临界值：500元。如此修改的目的，主要是利用学生的错误解法制造矛盾。因为按照学生的解法：妈妈的收入2090元超过了起征点490元，按5%的标准征税，要上缴24.5元；而爸爸的收入2110元超过了起征点510元，按10%的标准征税，要上缴51元——这就意味着爸爸比妈妈只多20元收入，却要多缴纳25.5元个人所得税。“多20元收入”对应“多缴纳25.5元个人所得税”，这个结论有悖常理，是值得怀疑的。这个疑点带给学生认知上的冲突，进而刺激学生反思和质疑原有的方法，并积极主动地探索新的解题思路。

其次，引导反思，使问题认识“本质化”。

美国著名教育学家杜威指出：解决问题的过程中，要使感觉到的疑难和困惑理智化，成为有待解决的难题和必须寻求答案的问题。学生意识到了解题方法上存在问题，但并不清楚问题所在：是妈妈还是爸爸的个人所得税算错了？审题中哪个环节出现了理解上的偏差？此时，教师有必要帮助学生通过反思，领悟到问题的本质。

于是，我顺着学生的思路提出质疑：“妈妈、爸爸中谁的个人所得税算法出错了呢？”经我提醒，学生重新根据题目给出的信息反思自己的解题思路，努力寻找问题所在。很快，就有学生认为，可能是爸爸的个人所得税算法出现了问题，理由是：妈妈的个人所得税是严格按照题意计算的。我继续引导学生深入追究关系：“你们是根据哪个信息计算爸爸的个人所得税的？如果是爸爸的个人所得税算法有问题，那么问题出在哪儿？”片刻，很多学生发现，是对“超过500~2000元的部分”的理解存在问题，并得出结论：是把“超过500~2000元的部分”等同于“超过500~2000元”，造成了解法上的错误。在不断的追问中，学生一步步地向着正确的目标靠拢。

再次，几何表征，使问题解决“直观化”。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象……几何直观可以帮助学生直观地理解数学……”这道习题中的数量关系比较复杂（含有取值范围），并且问题的表述形式不常见（法律条文式），给学生正确解题带来了阻碍。课堂上，我通过画线段图的方式，使问题变得简明和形象，引导学生表征问题、探索思路。

师“超过500～2000元的部分”特指哪一个部分呢？根据前面算出的超过起征点510元，你能否用线段图来表示？

（教师画出一条线段，表示超过的510元，要求学生在图上标出“超过500～2000元的部分”。有学生画出图1。）

师从图上可以看出，“超过500～2000元的部分”是10元，那么个人所得税怎么算？

生10×10%=1（元）。

师（故意）就是说，爸爸交1元个人所得税就可以喽？

生还要考虑“不超过500元的部分”。

生还要加上500×5%=25（元）。

师看来，是要加上“不超500元的部分”应缴纳的个人所得税，可是为什么不用500乘“10%”而乘“5%”呢？

生两个部分的税率不同，要区别对待。

师看来，还要在图上标出每一部分的税率，对应相乘才行。

（教师根据学生的回答完善线段图，得到图2。）

师根据现在的思路，咱们来算一算，爸爸所要缴纳的个人所得税是多少？看看解题方法是不是合理？

生“不超500元的部分”要缴纳25元，“超过500～2000元的部分”要缴纳1元，合起来是26元。

生现在的结果比较合理，爸爸比妈妈多20元收入，多缴纳26-24.5=1.5（元）个人所得税。

师回顾刚才求爸爸的个人所得税的过程，理一理，要怎么算才行？

生分段计算。

……

最后，我还通过再变换收入数据，检验了学生的学习效果：学生不仅能根据标准，画图表征解题思路，而且能正确解答需要分三段思考的问题。可见，利用线段图这一直观化的教学手段，不仅能使思维过程中的每一步都变得具体、形象，而且能启发学生探索新的解题思路，养成良好的解题习惯。