教学设计：应有“防错”意识——以《中点四边形》一课为例

马燕（江苏省南京市虹苑中学，210017）

一、从一道习题说起

“中点四边形”是苏科版初中数学九年级上册《中位线》一课第二课时的教学内容，旨在引导学生发现一系列连接各边中点得到的四边形与原四边形两条对角线的数量关系和位置关系，从中体会图形的数量关系和位置关系从一般到特殊的变化规律，全面地认识图形。课后，我给学生出了这样一道习题：

顺次连结四边形四条边的中点，所得的中点四边形是菱形。

此题主要考查三个方面的内容：一是对三角形中位线定理的运用；二是对转化思想、从一般到特殊的思想的运用;三是有条理地思考、判断及用几何语言表达。它的正确答案是“对角线相等的四边形”，但大部分学生写出的答案是“矩形”，也有少部分学生写出的答案是“正方形”。因此，学生的错误在于以部分替代了整体，以特殊情况代替了一般情况，其背后，犯的则是逻辑性错误和策略性错误——以非本质属性替代了本质属性。

如此多的学生出了原本不该出的错，是否与本节课的教学设计有一定的关联呢？

二、原先的3个探索活动

纵观该课，我给学生设计了3个探索活动。

【探索活动1】

自主探索：

连接任意四边形四条边的中点，能得到什么图形？并给予证明。

【探索活动2】

解答下列问题串：

问题1如果把上面的“任意四边形”改为“平行四边形”，它的中点四边形是什么形状呢？

问题2把“任意四边形”改为“矩形”，它的中点四边形仍是平行四边形吗？会不会成为更特殊的图形？再把它改为“菱形”、“正方形”呢？

问题3改成“一般梯形”、“直角梯形”、“等腰梯形”呢？

【探索活动3】

思考讨论下列问题：

（1）中点四边形的形状与原四边形的什么有密切关系？

（2）要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？

（3）要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗？

从这3个探索活动可以看出，学生探究是沿着从一般到特殊的顺序开展的，原四边形的形状也是从一般四边形逐步变为特殊四边形的。这是一种重要的研究变化规律的数学学习方法。但是，这样的设计忽视了对学生从对角线关系这一问题本质的角度进行思考的引导，而强化了学生对平行四边形等一系列重点学习过的边角关系逐渐特殊化的四边形的印象。也正因为如此，无形中将“顺次连结矩形四条边的中点，所得的中点四边形是菱形”这一非本质属性得到强化。尽管在后面的活动中，教师也引导学生去思考“要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗”,但是，前面的探究及作图留给学生的印象还是更深刻一些，以致学生在有意无意中忽略了对三角形中位线定理的运用，自然也就影响到对解题策略的选择。

三、对3个探索活动的改进

起初，我试图按照从特殊到一般的思路重新设计探索活动：从正方形开始逐步弱化对角线条件。但是，我发现这和前面的设计一样，都需要教师强调、突出，甚至直接指出对角线条件，否则,学生还是会过度关注边角条件。因此，我决定从一个实际问题入手：

【探索活动1*】

尝试解决下列问题：

(1) 一块白铁皮零料的形状如图1，工人师傅要从中裁出一块平行四边形白铁皮，并使四个顶点分别落在原白铁皮的四条边上，可以如何裁？

【探索活动2*】

原探索活动2。

【探索活动3*】

思考讨论下列问题：

(1) 如图2,探索决定中点四边形EFGH形状的原四边形ABCD的主要因素。是边、角,还是对角线？

(2) 反之，若中点四边形EFGH分别为矩形、菱形和正方形，则原四边形ABCD是否一定分别为菱形、矩形（等腰梯形）、正方形？

改进后的亮点在第1个和最后1个探索活动。第1个探索活动从一个条件非常简单、具有一定探究难度的实际问题入手，引导学生思考、讨论，想到与同一条对角线相关的两条三角形中位线，得出取各边中点的方法，从而自然地让学生发现：任意一个四边形的中点四边形都为平行四边形。而最后1个探索活动引导学生深入思考、归纳强化问题的本质：决定中点四边形形状的主要因素是原四边形对角线的数量关系和位置关系，并引导学生逆向运用这一本质发现，从而彻底掌握这类问题，排除非本质属性的干扰。

改进后的教学，给学生提供了知识辨析、强化和迁移的过程，从而促使学生有效地内化中点四边形的知识，教学实践也证明了这一点。

由此我又想到，如果我们静下心来剖析，就会发现，学生的很多错误有其“合理”的原因。日常概念的干扰、概念意象的替代、迁移的相关性等，都是影响学生数学学习的因素。因此，教师在教学设计中要具备“防错”的意识：一方面，要重视学生对基本方法的掌握。在平时的教学中，要揭示知识的来龙去脉和内在联系，让学生体会数学知识的发生、发展过程，把握蕴涵在其中的数学思想方法。另一方面，要充分了解学情，包括学生已有的知识经验、技能水平和可能存在的认知障碍。有效的教学设计，不仅表现在教学容量和教学效率上，还应表现在教学活动是否符合学生的认知规律，是否引导学生经历有价值的思维活动，是否实现了知识的正向迁移和学生学习能力的提升上。