以“数学化”思想为指导——《参数方程》教学分析

王应标（江苏省清江中学，223001）

一、“数学化”思想的涵义和教育意义

弗赖登塔尔在他的著作《作为教育任务的数学》中提出了数学教学的基本原则之一：“数学化”原则。弗氏认为：人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫“数学化”。同时，他指出数学化的对象可以分为两类：一类是现实客观事物，另一类是数学本身。以此为依据，数学化被分解为横向数学化和纵向数学化：横向数学化——把生活世界引向符号世界；纵向数学化——对数学本身进行数学化，它既可以是对某些数学知识的深化，亦可以是对已有数学知识的分类、整理、综合、构造，以形成不同层次的公理体系和形式体系。

弗赖登塔尔认为，数学教学应该让学生充分经历数学化过程，这是因为“没有数学化就没有数学，没有公理化就没有公理系统，没有形式化就没有形式体系”；他还认为，过分强调数学化之后的结果而忽视数学化过程本身的教学，是一种“违反教学法的颠倒”，这会导致学生学得快但一定忘得更快。康德说过：“没有经验的概念是空洞的，没有概念的经验是不能构成知识的。”而弗氏的“数学化”教学原则恰好能有效地避免上述两种缺漏。数学化要求我们“从原始的现实开始”教学，因为现实情境的模糊性、与当堂知识目标联系的隐蔽性，更有利于激发学生亲身经历数学化活动的动机；而不能是“违反教学法的颠倒”，亦即不能只作“填鸭式”教学，不能把数学教学与“死记硬背、套路、反复操练、算法”等行为、内容相连。数学化教学让学生经历把自己的知识、策略运用于具体的情境中，然后经过理想化、模式化，进而完成一般化，最后形成形式化这一完整的“做数学”过程，使得学生在习得知识的同时，更能获得数学方法的生成，体悟到数学式的眼光。由此，数学化的教育意义至少体现在如下三方面：一是在认识与思维方式上，更多地采用数学式的观点与态度去审视各种目标，进行知识的“再创造”学习；二是在教学方法上，能够拓展学生的合情推理与演绎推理能力，提升学生的智力品质；三是在教学过程中，能够渗透数学的人文价值，提升学生的非智力品质。

二、“数学化”思想指导下的《参数方程》教学过程

（一）创设现实情境

如图1，一摩托车手欲飞跃黄河，飞跃的水平距离为35米，为了安全，要求摩托车在最高点与地面的垂直落差为10米，若设计摩托车沿跑道飞出时的前进方向与水平方向所成的角为12°,那么摩托车沿跑道飞出时的速度应为多少？

学生原有的认知是，已学过一些特殊曲线轨迹的求法，也已具备平抛运动常识。由题目的现实情境和图形特征，学生最先会试图建立曲线上点的坐标之间的直接关系，但是会发现困难很大。斜抛运动与参数方程概念处于学生思维的最近发展区，问题情境的开放性与学生经验的局限性构成了当下的矛盾，而这正是培养学生“数学化”能力的一个契机。把学生抛向现实困境中，让他们在猜想、试探、分析、选择中学会怎样在现实情境中舍弃无关因素，抽取数量关系与结构，建立数学模型。

（二）探究解决

师你能说出解决该问题的大致方向吗？

（思考片刻后，有的学生认为要建立曲线上点的坐标变量的函数关系，有的学生认为要建立曲线的方程。通过交流讨论，学生一致认为要建立曲线的方程。）

师你能说出求曲线方程的步骤吗？

生“一建、二找、三代入”。

师求轨迹方程有哪些方法？

生直接法、相关点法、定义法、交轨法。

师该问题能用上述几种方法解决吗？

（学生思考、交流，多数学生面有难色。）

问题是思维的出发点，并决定了思维的方向，一个好的问题能引发学生的认知冲突，激发学生的探究兴趣，并以此启发学生的深层次思维，帮助学生获得正确的观念与意识。因此，教师要充分考虑所设置问题的难易、深浅、明暗等恰当与否。这里，第1个问题特意不直言道明思维的方向，而是给学生思维发散探究的机会。接下来的2个问题是在学生已经顺利建立解析几何模型的情况下提出的，旨在帮助学生构建完善的、组织良好的知识结构。

师用前面求轨迹方程的几种方法解决有困难，那么我们能否放大视野，用相关学科的知识来解决？

给学生充分的探究空间并非教师可以不作为，因为学生在“做数学”时常处于方向不明、结论未知的环境中，若听任学生自由探究，极有可能使数学活动陷入盲目、低效甚至无效的境地。作为教师，要承担起“闻道”在先、引领“入道”的责任。故而弗赖登塔尔强调，数学化应是教师对学生“有指导的再创造”，“指导再创造意味着在创造的自由性与指导的约束性之间，以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡”，“学生可以创造一些对他来说是新的而对指导者是熟知的东西”。由此，教师的教学智慧就体现在何时何地、如何介入到学生的思维活动中。在学生经过充分思考还是不得其解时，教师可以通过暗示信息明显的元认知提示语来指导学生的探究活动。

（三）反思提炼

师你认为解决这道题的关键是什么？你能例举出生活中类似的情形吗？你能体会出解题过程中蕴含的数学的一些特色思维吗？

（学生回答、交流，过程略。）

数学化能让学生感受到概念的“前世今生”，但数学化不能导致学生的数学学习体验由“此知”自动达到“彼知”，也难以由数学知识自动生成数学观念。教师通过问题串的创设，恰恰可以促使学生对经验性知识进行提升，促成学生数学观念由模糊到清晰的转化。这3个问题的设计目的是，让学生反思数学化的过程，看到直接建立x与y的关系有困难，但找到第三个量t,得到x=f(t),y=g(t)的关系后问题即刻得到解决，从而让学生感受到生活中处处有数学，体会出变更问题、追求简易的数学特色思维。其中，最后1个问题进一步对学生进行等价化归、化难为易等数学特色思维的濡化。

师分别建立x、y与第三个变量的关系，你以前见过类似的方法吗？你认为本题的方法有推广、一般化的价值吗？

（学生回答、交流，过程略。）

这2个问题的设计目的是，对学生进行数学观念的浸润：一是前面学习圆、椭圆时碰到过设参数角的问题，要让学生明白数学知识的诞生是自然的，即在生活或数学中，若经常碰到一个数学对象，我们就有研究它的必要与价值，我们就要给它下定义、研究其性质；二是在研究数学问题时，碰到特殊情形，不妨想想一般化会怎样，一般情形难以处理，又常常从特例开始，这同样是数学式的思维方式。

师你能对刚才的问题进行概括、一般化吗？若把前面的第三个变量称为参数，你能对前面的方程组下一个定义吗？

（学生回答、交流，过程略。）

衡量学生是否真正理解了数学对象意义的一个方法，是看学生能否用自己的语言将其重新表达出来。当然，学生的叙述可能有疏漏，可能不严谨，但通过师生交流的不断修正，可臻完善。

（四）建构知识

（师生一起研讨、交流，得到参数方程的概念，过程略。）

师凭你的学习与研究经验，你觉得《参数方程》这一章下面应该研究什么？

生如何选择参数以及如何消去参数。

师请说理由。

生选择参数是为了解决求比较复杂、不易建立普通方程的曲线方程问题，通过参数这个“媒介”能够间接建立x,y的关系；消去参数是为了化生为熟，可以把参数方程化归为普通方程，毕竟前面我们的主要精力都花在普通方程的学习与研究上。

这里，教师把学生推向数学研究的前台，让学生自己拿出方案与措施，拿出研究的路径。这样，一方面使得学生的学习是自主建构而非被动灌输的，另一方面熏育学生研究数学对象的方式方法与行为习惯。

（五）应用知识

研究教材，尝试解决其中的问题（过程略）。

（六）总结提高

师通过本节课的学习，你有那些收获？

（学生回答、交流，过程略。）

通过这个问题，让学生自己梳理“做数学”中的知识、技能、观念上的收获。通过学生之间的相互启发，通过从不同的视角看问题，可以加深学生的数学理解，丰富学生的数学体验，为学生后续的数学化活动积累经验。

师你觉得本节课还有哪些问题尚需作进一步研究？

（学生回答、交流，过程略。）

通过这个问题，一方面培育学生主动归纳“做数学”中的“大观点”的习惯，比如设参与消参、对一些特殊曲线参数意义的讨论等，使得后续的数学学习对学生来说是自然的、有规律可循的；另一方面为学生后续的数学学习留下“再创造”的伏笔，为学生课外的数学探究做好铺垫。

让学生充分经历数学化过程，学生在获得有生命力的知识之外，更重要的是收获技能、方法、观念、审美等多元成果，这样的课堂可以使得知识的内蕴价值得到增值的发挥。显然，数学化教学的育人效果远胜于单一的知识传授。所以，教师应该在教学中根据教材内容，尽可能多地给学生提供数学化活动的机会。

教育期刊网 http://www.jyqkw.com
参考文献：

［1］ 【荷兰】弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M］.陈昌平，唐瑞芬译.上海：上海教育出版社，1973

［2］ 【荷兰】弗赖登塔尔.数学教育再探［M］.刘意竹，杨刚译.上海：上海教育出版社，1999

［3］ 曹一鸣.数学教学中的“生活化”与“数学化”［J］.中国教育学刊，2006（2）